1.3.2 人教A版数学选修2-3 第1章 计数原理

1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质

填一填 1.杨辉三角的特点

(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．

r

(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即Crn＋1＝Cn

－1

＋Crn.

2．二项式系数的性质

n(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即Cmn＝Cn

－m

)．

n＋1(2)增减性与最大值：当k<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是

2逐渐减小的，且在中间取得最大值；

当n是偶数时，中间一项取得最大值；

当n是奇数时，中间两项(3)各二项式系数的和：

nn12

①C0n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2，

相等，同时取得最大值．

n124135②C0. n＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2

－

判一判 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

1．杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．(√)

2．二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的．(×)

n2

3．二项展开式的二项式系数和为C1n＋Cn＋…＋Cn.(×)

4．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于5.(√) 5．(1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，系数最大的项是第n项．(×) 1

x－?10展开式的各项系数的和为210.(×) 6.??x?

7．在(a＋b)10的二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是第7项．(×) 8．在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n等于10.(√)

想一想 1.(1＋2x)2 016的展开式中，二项式系数的最大项是第几项？最大值是多少？(1＋x)2 016

的展开式中，二项式系数的最大值是多少？

提示：在(1＋2x)2 016和(1＋x)2 016的二项展开式中，都含有2 017项，中间一项的二项式系数最大，即第1 009项的二项式系数C1 0082 016最大．

2．若(a＋b)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n为何值？

提示：由二项式系数的性质可知，第5项为二项展开式的中间项，即二项展开式共有9项，故n＝8.

3．(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和与a，b的取值有关系吗？

12提示：(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和与a，b的值无关，其和为C0n＋Cn＋Cn＋…

n

＋Cnn＝2.

思考感悟：

练一练 1.在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项二项式系数相同的项是( )

A．第n－k项 B．第n－k－1项 C．第n－k＋1项 D．第n－k＋2项

k－1n－k＋1－1解析：第k项的二项式系数是Ck，故第n－k＋2项的二项式系n，由于Cn＝Cn

－k＋1. 数为Cnn

答案：D

?1?2．设二项式?3x＋?n的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是

x??

( )

A．第9项 B．第8项

C．第9项和第10项 D．第8项和第9项

n-4n－4-434

T5＝Cnx，所以令－4＝0，解得

解析：因为展开式的第5项为

3

n＝16.所以展开

式中系数最大的项是第9项．

答案：A

3．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( )

A．－2 B．1

C．2 D．2×39

解析：令x＝－1，则a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2. 答案：A

4．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．

n11010

解析：(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C010＋C10＋…＋C10＝2，令(x＋3y)中x

＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.

答案：5

知识点一 与杨辉三角有关的问题 1.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行从左至右第14与第15个数之比为2:3.

14解析：设第n行从左至右第14与第15个数之比为2:3，则C13n:Cn＝2:3.

3·n！2·n！

14，即∴3C13＝2C＝， nn

13！·?n－13?！14！·?n－14?！∴n＝34.