天津市南开区2018年中考数学二模试卷（含解析）

（Ⅱ）连接OC，如图1，利用垂径定理得到AB⊥CD，再利用圆周角定理得到∠COF=60°，则根据含30度的直角三角形三边的关系计算出OF=，CF=

，所以CD=2CF=

，AF=，接着证明

AF为△CDE的中位线得到DE=2AF=3，然后根据三角形面积公式求解． 【解答】解：（Ⅰ）DE与⊙O相切．、 理由如下：连接OD，如图1， ∵∠AOD=2∠ACD=2×45°=90°， ∴OD⊥AB， ∵DE∥AB， ∴OD⊥DE，

∴DE为⊙O的切线； （Ⅱ）连接OC，如图1， ∵点F是CD的中点， ∴AB⊥CD，CF=DF， ∵∠COF=2∠CAB=60°， ∴OF=OC=，CF=∴CD=2CF=

OF=

，

，AF=OA+OF=，

∵AF∥AD，F点为CD的中点， ∴DE⊥CD，AF为△CDE的中位线， ∴DE=2AF=3，

∴△CDE的面积=×3×

=

．

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：则直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．也考查了圆周角定理和垂径定理．

22．（10分）某中学依山而建，校门A处有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF

的楼顶C的仰角∠CBF=53°，离B点4米运的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF=63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD=5米 （Ⅰ）求∠BAD的正切值；

（Ⅱ）求DC的长．（参考数据：tan53°≈，tan63.4°≈2）

【分析】（Ⅰ）过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形，求得BG=DF=5米，然后根据勾股定理求得AG，即可求得斜坡AB的坡度i． BF=（Ⅱ）在Rt△BCF中，﹣

=

EF=，在Rt△CEF中，

=

，得到方程BF﹣EF=

=4，解得CF=16，即可求得求DC=21．

【解答】解：（Ⅰ）过B作BG⊥AD于G， 则四边形BGDF是矩形， ∴BG=DF=5米， ∵AB=13米， ∴AG=∴tan∠BAD=

=12米， =1：2.4；

（Ⅱ）在Rt△BCF中，BF=在Rt△CEF中，EF=∵BE=4米， ∴BF﹣EF═

﹣

=4，

=

，

=，

解得：CF=16．

∴DC=CF+DF=16+5=21米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角和俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度和坡比问题，正确理解题意是解题的关键．

23．（10分）某文物古迹遗址每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对文物古迹会产生不良影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用的问题，还要保证有一定的门票收入，因此遗址的管理部门采取了升、降门票价格的方法来控制参观人数．在实施过程中发现：每周参观人数y（人）与票价x（元）之间怡好构成一次函数关系． （Ⅰ）根据题意完成下列表格 票价x（元）

参观人数y（人）

10 7000

15 4500

x ﹣500x+12000

18 3000

（Ⅱ）在这样的情况下，如果要确保每周有40000元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价格应定位多少元？

（Ⅲ）门票价格应该是多少元时，门票收入最大？这样每周应有多少人参观？

【分析】（Ⅰ）由题意可知每周参观人数y（人）与票价x（元）之间怡好构成一次函数关系，把点（10，7000）（15，4500）分别代入y=kx+b，求出k，b的值，即可把表格填写完整； （Ⅱ）根据参观人数×票价=40000元，即可求出每周应限定参观人数以及门票价格应定位； （Ⅲ）先得到二次函数，再配方法即可求解．

【解答】解：（I）设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为y=kx+b， 把（10，7000）（15，4500）代入y=kx+b中得

，

解得

，

∴y=﹣500x+12000， x=18时，y=3000，

故答案为：﹣500x+12000，3000；

（II）根据确保每周4万元的门票收入，得xy=40000 即x（﹣500x+12000）=40000 x2﹣24x+80=0 解得x1=20 x2=4

把x1=20，x2=4分别代入y=﹣500x+12000中 得y1=2000，y2=10000

因为控制参观人数，所以取x=20，y=2000

答：每周应限定参观人数是2000人，门票价格应是20元/人． （III）依题意有

x（﹣500x+12000）=﹣500（x2﹣24）=﹣500（x﹣12）2+72000， y=﹣500×12+12000=6000．

故门票价格应该是12元时门票收入最大，这样每周应有6000人参观．

【点评】此题考查了二次函数以及一次函数的应用，解答此类题目的关键是要注意自变量的取值还必须使实际问题有意义．

24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8），点C的坐标为（﹣2

，4），点M，N分别为四边形OABC

边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿O→A→B路线向终点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒两个单位长度的速度沿O→C→B→A路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设动点运动的时间t秒（t＞0），△OMN的面积为S．

（1）填空：AB的长是 10 ，BC的长是 6 ； （2）当t=3时，求S的值；

（3）当3＜t＜6时，设点N的纵坐标为y，求y与t的函数关系式； （4）若S=

，请直接写出此时t的值．