(完整word版)三角函数高考题及练习题(含答案),推荐文档

已知函数f(x)＝Asin ωx＋Bcos ωx(A、B、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且1

当x＝时，f(x)max＝2.

3

(1) 求f(x)的解析式；

2123?(2) 在闭区间??4，4?上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．

2π

解：(1) 因为f(x)＝A2＋B2sin(ωx＋φ)，由它的最小正周期为2，知＝2，ω＝π.

ω

ππ11

又当x＝时，f(x)max＝2，知π＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)＝

3326

ππ

2sin?πx＋2kπ＋?＝2sin?πx＋?(k∈Z)．

6?6???

π

故f(x)的解析式为f(x)＝2sin?πx＋?.

6??

(2) 当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称

ππ1211235965

轴，令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝k＋(k∈Z)，由≤k＋≤，解得≤k≤.

6234341212

2123?16，上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝. 又k∈Z，知k＝5，由此可知在闭区间??44?3

题型三 三角函数的性质与图象的移动问题

例3 把函数f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0)，

17π

所得函数的图象关于直线x＝对称．

8

(1) 求m的最小值；

17π15π?(2) 证明：当x∈?－时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为，－88??

负数；

(3) 设x1，x2∈(0，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝1，求x1＋x2的值．

1－cos2x1＋cos2x

(1) 解：f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x＝－sin2x＋3·＝cos2x－sin2x

22

π

＋2＝2cos?2x＋?＋2.

4??

π

因为将f(x)的图象沿x轴向左平移m个单位(m>0)，得到g(x)＝2?2（x＋m）＋?＋2

4??

17π

的图象，又g(x)的图象关于直线x＝对称，

8

π（2k－9）17π

所以2?π(k∈Z)． ＋m?＋＝kπ，即m＝

4?8?4

π

因为m>0，所以m的最小值为.

4

π7π17π15π?

(2) 证明：因为x∈?－，所以－4π<2x＋<－，所以f(x)在，－

4288??

?－17π，－15π?上是减函数．所以当x1、x2∈?－17π，－15π?，且x1

88?88???

f（x1）－f（x2）

f(x1)>f(x2)，从而经过任意两点(x1，f(x1))和(x2，f(x2))的直线的斜率k＝<0.

x1－x2

π2

(3) 解：令f(x)＝1，所以cos?2x＋?＝－.

24??

ππ9π

因为x∈(0，π)，所以2x＋∈?，?.

4?44?

π3ππ5πππ

所以2x＋＝或2x＋＝，即x＝或x＝.

444442

ππ3π

因为x1、x2∈(0，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝1，所以x1＋x2＝＋＝

424

已知函数f(x)＝2sinωx，其中常数ω>0.

π2π

(1) 若y＝f(x)在?－，?上单调递增，求ω的取值范围；

3??4

π

(2) 令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函

6

数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a

ππ－ω≥－42

解：(1) 因为ω>0，根据题意有

2ππω≤32

3

0<ω≤.

4

πππ

(2) f(x)＝2sin2x，g(x)＝2sin2?x＋?＋1＝2sin?2x＋?＋1，g(x)＝0sin?2x＋?＝－

6?3?3????

???

ππ2π7

x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z, 即g(x)的零点相邻间隔依次为和，故若y＝

31233

2ππ43π

g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×＋15×＝.

3331

2

已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx

π

＋φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.

2

π

(1) 求f??的值；

?8?

π

(2) 将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)

6

的单调递减区间．

31

解：(1) f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2?sin（ωx＋φ）－cos（ωx＋φ）?＝

2?2?

π

2sin?ωx＋φ－?.因为f(x)为偶函数，所以对x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立，

6??

ππ

因此sin?－ωx＋φ－?＝sin?ωx＋φ－?，

6?6???

ππππ

即－sinωxcos?φ－?＋cosωxsin?φ－?＝sinωxcos(φ－)＋cosωxsin?φ－?，

66?6?6????

π

整理得sinωxcos?φ－?＝0.因为ω＞0，且x∈R，

6??

πππ

所以cos?φ－?＝0.又0＜φ＜π，故φ－＝.

626??

2πππ

所以f(x)＝2sin?ωx＋?＝2cosωx.由题意得＝2×，所以ω＝2，故f(x)＝2cos2x，

22??ω

ππ

因此f??＝2cos＝2.

4?8?

πππ

(2) 将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f?x－?的图象，所以g(x)＝f?x－?＝

66?6???

ππππ

2cos?2?x－??＝2cos?2x－?.当2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋≤x≤kπ＋

366??3????

2ππ2π

(k∈Z)时，g(x)单调递减，因此g(x)的单调递减区间为?kπ＋，kπ＋?(k∈Z)． 363??题型四 三角函数图象及性质、三角公式综合运用

π?

?4＋x?－3cos2x－1，x∈R.

(1) 求f(x)的最小正周期；

π

(2) 若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点?－，0?对称，且t∈(0，π)，求t的值；

?6?

ππ

(3) 当x∈?，?时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围．

?42?

ππ

解：(1)因为f(x)＝－cos?＋2x?－3cos2x＝2sin?2x－?，故f(x)的最小正周期为π.

3??2??

ππππ

(2) h(x)＝2sin?2x＋2t－?.令2×?－?＋2t－＝kπ(k∈Z)，又t∈(0，π)，故t＝

333???6?5π或. 6

ππ2πππ

(3) 当x∈?，?时，2x－∈?，?，

3?63??42?

∴ f(x)∈[1，2]．又|f(x)－m|＜3，即f(x)－3＜m＜f(x)＋3， ∴ 2－3＜m＜1＋3，即－1＜m＜4.

例4 已知函数f(x)＝2sin2?

π

已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x＝时，f(x)

12

7

取得最大值3；当x＝π时，f(x)取得最小值－3.

12

(1) 求函数f(x)的解析式；

(2) 求函数f(x)的单调递减区间；

ππ

(3) 若x∈?－，?时，函数h(x)＝2f(x)＋1－m有两个零点，求实数m的取值范围．

?36?2ππ7

解：(1) 由题意，A＝3，T＝2?π－?＝π，ω＝＝2.

T12??12

πππ

由2×＋φ＝＋2kπ得φ＝＋2kπ，k∈Z.

1223

ππ

又 －π<φ<π，∴ φ＝，∴ f(x)＝3sin?2x＋?.

33??

ππ3ππ7ππ

(2) 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，得＋2kπ≤2x≤＋2kπ，即＋kπ≤x≤

2326612

7π

＋kπ，k∈Z. 12