数学学科综合能力培训课程

1

前 言

（一）课程的性质和任务

高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。

高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。

高中数学课程是学习高中物理、化学、技术等课程和进一步学习的基础。同时，它为学生的终身发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要意义。

课程任务：巩固本学期新学知识，进一步培养学生的计算能力、发展学生空间观念和思维能力，提高解决简单实际问题的能力。

通过课内与课外相结合、课本与课外读物相结合的方式，使学生能更好地理解课本知识，提高解决实际的能力。

（二）设计思路

针对高中数学教学的“必须、够用”原则指导思想，该课程的总体设计思路是，实现传授知识和发展能力并重，能力培养要贯穿教学全过程。本课程关于能力方面的要求是：逐步培养学生利用数学工具解决实际问题的能力；能够将实际问题“翻译”为数学语言，并予以求解，然后再解释实际现象，甚至应用于实际；最终提高学生的数学素质和应用数学知识解决实际问题的能力。

（三）说明

课程的基本要求，是巩固本学期新学知识，对所学知识的巩固与加深。 基本要求中所列出的各项教学内容与要求是制定教学计划、教学大纲和编写教材的重要依据，但不涉及课程体系的结构、教学内容的先后安排和编写教材的章节顺序。

2

目 录

第一节 巧用几何性质简化计算????????????????01 第二节 分类与讨论?????????????????????05 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 第九节 类比与联想?????????????????????08 “设而不求”的未知数????????????????12 数学归纳法?????????????????????14 函数方程??????????????????????18 容斥原理??????????????????????20 集合的概念与运算??????????????????24 组合数学??????????????????????29

3

第一节 巧用几何性质简化计算

解析几何是用代数方法研究几何图形的，它把解决几何问题化归为数、式的演算。在这化归的过程中，需要数形结合，并且可以直接应用一切平面几何的知识。

例1、（1）过A（4，－1）且与已知圆x2+y2+2x－6y+5=0切于点B(1,2)的圆方程为 。

（2）已知A（4，2），过A作圆x2+y2=10的两切线，则切点间的劣弧的长为 。

（3）设直线l的方程为3x+y=23,则圆心在坐标原点，截直线L所得弦长等于圆半径的圆方程为 。

例2、（1）已知圆（x－4）2+（y+2）2= 4与直线y = mx的交点为P、Q，则|OP|·|OQ|之值是 。

（2）圆（x+1）2+（y+2）2= 8上到直线x+y+1=0的距离为2的点共有 个。

（3）过圆（x－2）2+y2= 2外的一点A作圆的两切线，当两切线互相垂直时，点A的轨迹方程是 。

例3、（1）平面上有一半径为r的定圆，A为的定圆内一定点，动点P到A点的距离等于从它到圆的切线段的长，求点P的轨迹方程。

（2）已知点P（1，2）为圆x2+y2=9内一点,过点P作两条互相垂直的任意弦交圆于B、C，求BC中点的轨迹方程。

（3）长为a的线段的两个端点A、B分别在120°角的两边OM、ON上滑动，若PA⊥MO，PB⊥ON，求动点P的轨迹方程。

例4、设A1、A2是一个圆的一条直径的两个端点，P1P2是与A1A2垂

4