江苏省镇江市2016届高三上学期期中数学试卷

【考点】弧度制的应用．

【专题】函数思想；三角函数的图像与性质．

【分析】（1）首先，求解三角形和扇形的面积，然后，求和即可得到相应的解析式； （2）根据三角函数辅助角公式和导数的计算等知识求解其最大值即可． 【解答】解：（1）∵扇形AOB的半径为2m，∠AOB=xrad， ∴S扇形=x?22=2x，

过点B作边AC的垂线，垂足为D，如图所示：

则∠BOD=π﹣x，

∴BD=2sin（π﹣x）=2sinx，OD=2cos（π﹣x）=﹣2cosx， ∵∠ACB=

，

∴CD=BD=2sinx，

∴S△BOC=CO?BD=（2sinx﹣2cosx）×2sinx=2sin2x﹣2sinxcosx=1﹣cos2x﹣sin2x， ∴S（x）=1﹣cos2x﹣sin2x+2x，

（2）根据（1），得到S（x）=1﹣cos2x﹣sin2x+2x， ∴S′（x）=2sin2x﹣2cos2x+2， 令S′（x）=0， ∴2

sin（2x﹣

）=﹣2，

∴sin（2x﹣）=﹣，

∴2x﹣=，

∴x=

，

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根据实际意义知，当x=故设计∠AOB=

时，该函数取得最大值，

时，此时S（x）有最大值．

【点评】本题重点考查了三角形的面积公式、辅助角公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．

20．记函数f（x）=ex的图象为C，函数g（x）=kx﹣k的图象记为l． （1）若直线l是曲线C的一条切线，求实数k的值．

（2）当x∈（1，3）时，图象C恒在l上方，求实数k的取值范围．

（3）若图象C与l有两个不同的交点A、B，其横坐标分别是x1、x2，设x1＜x2，求证：x1x2＜x1+x2． 【考点】函数的图象．

【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．

x0

【分析】（1）先设出切点坐标P（x0，e），再利用导数的几何意义写出过P的切线方程，最后将（1，0）

代入即可得P点坐标，从而得到直线的斜率k；

（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=e﹣k（x﹣1），确定x=lnk时，函数h（x）取得最小值k﹣k（lnk﹣1），利用当x∈（1，3）时，图象C恒在l上方，可得k﹣k（lnk﹣1）＞0，即可求实数k的取值范围． （3）证明（x1﹣1）（x2﹣1）＜1，即可得出结论

xxx0x0x0

【解答】（1）解：曲线y=e的导数为y′=e，设切点为P（x0，e），则过P的切线方程为y﹣e=e（x

x

﹣x0）

2

代入（1，0）点得x0=2，∴P（2，e）， 2

代入g（x）=kx﹣k，可得k=e；

（2）解：令h（x）=f（x）﹣g（x）=e﹣k（x﹣1）， ∴h′（x）=ex﹣k，

∴x∈（1，lnk）时，h′（x）＜0，x∈（lnk，3）时，h′（x）＞0， ∴x=lnk时，函数h（x）取得最小值k﹣k（lnk﹣1）， ∵当x∈（1，3）时，图象C恒在l上方， ∴k﹣k（lnk﹣1）＞0， ∴e＜k＜e2； （3）证明：由题意，∴

x

=kx1﹣k， =kx2﹣k

=k2（x1﹣1）（x2﹣1）＜k2，

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∴（x1﹣1）（x2﹣1）＜1， ∴x1x2＜x1+x2．

【点评】本题考察了导数的几何意义，解题时要注意发现隐含条件，辨别切线的类型，分别采用不同策略解决问题．

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