江苏省镇江市2016届高三上学期期中数学试卷

∴由③④解得：sinB=sinC=sinA=故△ABC为等边三角形…14分

，即A=B=C=，

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．

16．已知函数

（1）解不等式f（x）＞0；

（2）当x∈[1，4]时，求f（x）的值域． 【考点】对数函数图象与性质的综合应用． 【专题】函数的性质及应用．

【分析】（1）先根据对数的运算性质对解析式化简，再令log2x=t代入f（x）＞0，进而转化为关于t的二次不等式，求出t的范围再求对应的x的范围；

（2）由x∈[1，4]求出t∈[0，2]，代入后进行配方，利用二次函数的性质求出f（x）的最值即可． 【解答】解：（1）f（x）==（log2x﹣2）?（log2x+1）…

令log2x=t，∴f（x）=g（t）=（t﹣2）?（t+1），

由f（x）＞0，可得（t﹣2）（t+1）＞0，∴t＞2或t＜﹣1，… ∴log2x＞2 或log2x＜﹣1，∴x＞4或∴不等式的解集是

（2）∵x∈[1，4]，∴t∈[0，2]，… ∴∴

fmax（x）=g（2）=0，… ∴f（x）的值域是

．… ，…

，…

．… ．… ．

【点评】本题考查了对数的运算性质，对数函数和二次函数性质的应用，以及换元法求函数的值域问题．

13

17．已知a∈R，函数f（x）=（1）求函数f（x）的单调区间；

．

（2）若a＞1，函数y=f（x）在[0，a+1]上最大值是f（a+1），求实数a的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】综合题；分类讨论；综合法；导数的综合应用．

【分析】（1）由求导公式和法则求出f′（x），求出导函数的零点，然后分a=1，a＞1和a＜1三种情况，分别由二次函数的性质判断出导数在各区间段内的符号，由导数与函数单调性的关系判断原函数的单调区间；

（2）由（1）和条件判断出f（x）在[0，a+1]上的单调性，确定f（x）在[0，a+1]上的最大值，由条件列出不等式，求出实数a的取值范围．

2

【解答】解：（1）由题意得，f′（x）=x﹣（a+1）x+a=（x﹣1）（x﹣a），

令f′（x）=0，得x1=1，x2=a， ①当a=1时，f′（x）=（x﹣1）2≥0， 所以f（x）在（﹣∞，+∞）单调递增； ②当a＜1时，

当x＜a或x＞1时，f′（x）＞0，当a＜x＜1时，f′（x）＜0，

所以f（x）在（﹣∞，a），（1，+∞）内单调递增，在（a，1）内单调递减； ③当a＞1时，

当x＜1或x＞a时，f′（x）＞0，当1＜x＜a时f′（x）＜0，

所以f（x）在（﹣∞，1），（a，+∞）内单调递增，在（1，a）内单调递减．

综上，当a＜1时，f（x）在（﹣∞，a），（1，+∞）内单调递增，在（a，1）内单调递减； 当a=1时，f（x）在（﹣∞，+∞）单调递增；

当a＞1时，f（x）在（﹣∞，1），（a，+∞）内单调递增，在（1，a）内单调递减． （2）由（1）知，当a＞1时，

f（x）在（﹣∞，1），（a，+∞）内单调递增，在（1，a）内单调递减， 所以f（x）在[0，1），（a，a+1]内单调递增，在（1，a）内单调递减， 则f（x）在[0，a+1]上的最大值是f（0）或f（a+1）， 因为f（x）在[0，a+1]上最大值是f（a+1），

14

所以，则，

化简得，解得

）．

，

所以a的取值范围是（1，2

【点评】本题考查求导公式、法则，利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想，是中档题．

18．已知函数f（x）=sin2x﹣2

asin（x+

）+2，设t=sinx+cosx，且x∈（﹣

，

）

（1）试将函数f（x）表示成关于t的函数g（t），并写出t的范围； （2）若g（t）≥0恒成立，求实数a的取值范围；

（3）若方程f（x）=0有四个不同的实数根，求a的取值范围． 【考点】三角函数中的恒等变换应用；根的存在性及根的个数判断． 【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用；三角函数的图像与性质． 【分析】（1）利用三角函数恒等变换可得t=可求g（t）=t﹣2at+1，t∈（0，（2）由题意可得a≤

2

sin（x+），且x∈（﹣，），t∈（0， ]，

]． ，在t∈（0，

]上恒成立，令H（t）=

，可求H′（t）=

，

由，，即可利用函数的单调性解得a的取值范围．

）上有两个不相等的实根，问题转化为g（t）

（3）方程f（x）=0有四个不同的解等价于g（t）在（0，

=t2﹣2at+1在（0，

]上有两个不相等的实根的条件为：，从而解得a的

范围．

【解答】解：（1）∵t=sinx+cosx=∴x+∴t=

∈（0，π）， sin（x+

）∈（0，

]， sin（x+

），且x∈（﹣

，

），

∴sin2x=2sinxcosx=（sinx+cosx）2﹣（sin2x+cos2x）=t2﹣1，

15

∴g（t）=sin2x﹣2=t2﹣1﹣2at+2 =t2﹣2at+1，t∈（0，

asin（x+）+2

]．

]，

2

（2）∵g（t）=t﹣2at+1≥0恒成立，t∈（0，

∴a≤，在t∈（0，]上恒成立．

令H（t）=，则H′（t）=，由，

]上单调递增，

，

可得H（t）在（0，1]单调递减，在[1，所以H（t）min=H（1）=1，

所以：a≤H（t）min=H（1）=1时，在t∈（0，

]上g（t）≥0恒成立．

）上有两个不相等的实根，

（3）方程f（x）=0有四个不同的解等价于g（t）在（0，

=t2﹣2at+1在问题转化为g（t）（0，

]上有两个不相等的实根的条件为： ，

解得：，可得：1＜a＜．

故若方程f（x）=0有四个不同的实数根，a∈（1，）．

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了导数的概念及应用，根的存在性及根的个数判断，综合性强，属于中档题．

19．广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2m的扇形AOB和三角区域BCO构成，其中C，O，A在一条直线上，∠ACB=

2

（x）m，∠AOB=xrad，其中

，记该设施平面图的面积为S

＜x＜π．

（1）写出S（x）关于x的函数关系式； （2）如何设计∠AOB，使得S（x）有最大值？

16