江苏省镇江市2016届高三上学期期中数学试卷

即≤f（t）≤； ∴f（x）的值域是[故答案为：[

，

，]．

]．

【点评】本题考查了不等式的解法和应用问题，也考查了求函数值域的应用问题，是综合性题目．

12．已知函数f（x）=范围为 （1，2） ． 【考点】分段函数的应用．

【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用． 【分析】作函数f（x）=

的图象，从而可得ab=1，＜f（c）＜1；从而求得． ，若0＜a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），则

的

【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，

，

∵0＜a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c）， ∴﹣log2a=log2b，即ab=1； ∵f（c）=

=+，

∴＜f（c）＜1； 故1＜

=

＜2；

9

故答案为：（1，2）．

【点评】本题考查了数形结合思想应用及对数的运算，同时考查了整体代换的思想应用．

13．设α、β

，且sinαcos（α+β）=sinβ，则tanβ的最小值是 ．

【考点】三角函数中的恒等变换应用． 【专题】方程思想；分析法；三角函数的求值．

2

【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系可得 2tanα?tanβ+tanβ﹣tanα=0，再2β

根据△=1﹣8tan≥0，求得tanβ的最小值．

【解答】解：∵sinαcos（α+β）=sinβ=sin[（α+β）﹣α]， ∴sinαcos（α+β）=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα， 化简可得 tan（α+β）=2tanα，即∴2tan2α?tanβ﹣tanα+tanβ=0， ∴△=1﹣8tan2β≥0， 解得﹣∵β∈（

≤tanβ≤

，

≤tanβ＜0，

=2tanα，

，π），∴﹣

．

故答案为：﹣

【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．

14．函数f（x）=ax﹣xlna（0＜a＜1），若对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤e﹣1恒成立，则实数a的取值范围是 [，1） ． 【考点】函数恒成立问题．

【专题】转化思想；配方法；构造法；函数的性质及应用；导数的综合应用．

【分析】求函数的导数，判断函数的单调性，求出函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值即可，利用构造法进行求解．

xx

【解答】解：函数的导数f′（x）=alna﹣lna=lna?（a﹣1），

∵0＜a＜1，∴lna＜0，

xx

由f′（x）＞0得lna?（a﹣1）＞0，即a﹣1＜0，则x＞0，此时函数单调递增，

10

由f′（x）＜0得lna?（ax﹣1）＜0，即ax

﹣1＞0，则x＜0，此时函数单调递减， 即当x=0时，函数取得最小值，f（0）=1， 当x=1，则f（1）=a﹣lna

当x=﹣1，则f（﹣1）=a﹣1

+lna，

则f（1）﹣f（﹣1）=a﹣﹣2lna， 设g（a）=a﹣﹣2lna， 则g′（a）=1+

﹣=（﹣1）2

＞0，

则g（a）在（0，1）上为增函数， 则g（a）＜g（1）=1﹣1﹣2ln1=0， 即g（a）＜0，

则f（1）﹣f（﹣1）＜0， 即f（1）＜f（﹣1），

即函数f（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值为f（﹣1）=a﹣1

+lna，

若对于任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤e﹣1恒成立，

则f（﹣1）=a﹣1

+lna≤e﹣1，

即+lna≤e﹣1， 设h（a）=+lna， 则h′（a）=﹣

+=﹣（

）2

+，

∵0＜a＜1，∴＞1， ∴当h′（a）＜h′（1）=0，

即h（a）=+lna在0＜a＜1上为减函数， 由+lna=e﹣1得a=．

则+lna≤e﹣1等价为h（a）≤h（）， 即≤a＜1，

故答案为：[，1）．

11

【点评】本题主要考查函数恒成立问题，求函数的导数，判断函数的单调性求出函数的最值是解决本题的关键．本题的难点在于多次构造函数，多次进行进行求导，考查学生的转化和构造能力和意识．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别是a、b、c． （1）若sin（A+

）=

，求A的值；

（2）若cosA=，sinB+sinC=2sinA，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【考点】三角形的形状判断；两角和与差的正弦函数． 【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．

【分析】（1）利用两角和的正弦函数公式化简已知可得cos（A+A的值．

（2）由正弦定理可得：b+c=2a，①由cosA=sinB+sinC=

，A∈（0，π），解得：A=

，由正弦定理可得：

）=0，解得范围0＜A＜π，即可解得

2222

，③由余弦定理可得：a=b+c﹣bc，②，由①②可解得：sinA=sinBsinC=，④

由③④解得：sinB=sinC=sinA=【解答】（本题满分为14分） 解：（1）∵sin（A+∴解得：cos（A+∵0＜A＜π，∴解得：A+

）=

，即A=B=C=，从而得解．

sinA+cosA=，

）=0，

＜

， …7分

＜A+=

，即A=

（2）∵sinB+sinC=2sinA， ∴由正弦定理可得：b+c=2a，① ∵cosA=

，A∈（0，π），解得：A=

，由①可得sinB+sinC=

，③

22222

由余弦定理可得：a=b+c﹣2bccosA=b+c﹣bc，②

∴由①②可解得：a2=bc，由正弦定理可得：sin2A=sinBsinC=，④

12