2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的统一定义学案苏教版选修2_1

15．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，过左焦点F(－c,0)的直线交椭圆C于P，

Q两点，FP→＝(1，3)，若PF→＝λFQ→

，且114

PF＋QF＝3

. (1)求实数λ的值； (2)求椭圆C的方程． 解 (1)∵→PF＝λ→

FQ，∴λ>0， 又→FP＝(1，3)，有|→

FP|＝2， ∴|→

QF|＝1λ|→FP|＝2λ.

又

1＋1＝4，∴1＋λ＝4，|→PF||→QF|

3223 ∴λ＝53

.

(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则由→

FP＝(1，3)，得x1＝1－c. 由圆锥曲线的统一定义可知，

2

PF＝e???xa1＋c???＝a＋exc1＝a＋a(1－c)＝2，① 同理，QF＝a＋ca??3?－5－c??6

?＝5

，②

由①－②得，85·ca＝4

5，∴a＝2c.

代入①得c＝1，∴椭圆方程为x2＋y2

43

＝1.

13