小学数学总复习行程问题 - 图文

但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了

4＋12＝16（千米）.

少骑行24-16＝8（千米）.

摩托车的速度是1千米/分，爸爸骑行16千米需要16分钟.

离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多1千米，小王走了两地距离的一半少1千米.从出发到相遇，小张比小王多走了2千米

小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是

2÷（5-4）＝2（小时）.

8＋8＋16＝32.

因此，甲、乙两地的距离是

答：这时是8点32分.

（5＋ 4）×2＝18（千米）.

下面讲“相遇问题”.

本题表面的现象是“相遇”，实质上却要考虑“小张比小王多

小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离.如果两人同时出发，那么

甲走的距离+乙走的距离

=甲的速度×时间+乙的速度×时间 =（甲的速度+乙的速度）×时间. “相遇问题”，常常要考虑两人的速度和.

例7 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于C点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两

例5 小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米.求A，B两地距离. 地到甲地需要12分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇？

解：走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 36 解：先画一张行程示意图如下 ÷12＝3（倍），因此自行车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的3倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的4段，小王走了3段，小张走了1段，小张花费的时间是

36÷（3＋1）＝9（分钟）.

答：两人在9分钟后相遇.

例6 小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离. 解：画一张示意图

设乙加速后与甲相遇于D点，甲加速后与乙相遇于E点.同时出发后的相遇时间，是由速度和决定的.不论甲加速，还是乙加速，它们的速度和比原来都增加5千米，因此，不论在D点相遇，还是在E点相遇，所用时间是一样的，这是解决本题的关键. 下面的考虑重点转向速度差.

在同样的时间内，甲如果加速，就到E点，而不加速，只能到 D点.这两点距离是 12＋ 16＝ 28（千米），加速与不加速所形成的速度差是5千米/小时.因此，在D点 （或E点）相遇所用时间是

28÷5＝ 5.6（小时）.

比C点相遇少用 6-5.6＝0.4（小时）. 请再看一个例子.

走多少？”岂不是有“追及”的特点吗？对小学的应用题，不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本质，究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条件好好想一想.千万不要“两人面对面”就是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”.

甲到达D，和到达C点速度是一样的，少用0.4小时，少走12千米，因此甲的速度是

12÷0.4＝30（千米/小时）.

同样道理，乙的速度是

16÷0.4＝40（千米/小时）.

二、环形路上的行程问题

A到 B距离是（30＋ 40）×6＝ 420（千米）.

人在环形路上行走，计算行程距离常常与环形路的周长有关.

答： A，B两地距离是 420千米.

例9 小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道

很明显，例7不能简单地说成是“相遇问题”.

例8 如图，从A到B是1千米下坡路，从B到C是3千米平

上跑步.小王的速度是180米/分.

（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两 小张离终点还有2.5-1.5=1（千米）.

答：40分钟后小张和小王相遇.小王到达终点时，小张离终点还有1千米.

路，从C到D是2.5千米上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？ 是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.

（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？

问：（1）小张和小王分别从A， D同时出发，相向而行，问多少时间后他们相遇？

500÷1.25-180=220（米/分）.

解：（1 ）75秒-1.25分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是

（2）相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另 （2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多一人离终点还有多少千米？

解：（1）小张从 A到 B需要 1÷6×60＝ 10（分钟）；小王从 D到 C也是下坡，需要 2.5÷6×60＝ 25（分钟）；当小王到达 C点时，小张已在平路上走了 25-10＝15（分钟），走了

220×12.5÷500＝5.5（圈）.

答：（1）小张的速度是220米/分；（2）小张跑5.5圈后才

能追上小王.

跑一圈（一个周长），因此需要的时间是

500÷（220-180）＝12.5（分）.

因此在 B与 C之间平路上留下 3- 1＝ 2（千米）由小张和小 例10 如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B王共同相向而行，直到相遇，所需时间是

2 ÷（4＋ 4）×60＝ 15（分钟）.

从出发到相遇的时间是

25＋ 15＝ 40 （分钟）.

（2）相遇后，小王再走30分钟平路，到达B点，从B点到 A点需要走 1÷2×60=30分钟，即他再走 60分钟到达终点. 小张走15分钟平路到达D点，45分钟可走

解：第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈.从出发开始算，两个人合起来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.

所走的行程的3倍，那么从A到D的距离，应该是从A到C距离的 解：画示意图如下. 3倍，即A到D是

80×3＝240（米）. 240-60=180（米）.

180×2＝360（米）.

第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走

答：这个圆的周长是360米.

在一条路上往返行走，与环行路上行走，解题思考时极为类似，因此也归入这一节.

从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两

例11 甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村村距离是 同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）.在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少？

每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程.

解：画示意图如下：

第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（3＋2＋2）倍的行程.其中张走了

3.5×7＝24.5（千米）， 24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）.

就知道第四次相遇处，离乙村

8.5-7.5=1（千米）.

答：第四次相遇地点离乙村1千米.

40×3÷60＝2（小时）.

下面仍回到环行路上的问题.

从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了

例13 绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时

6×2-2＝10（千米）.小王已走了 6＋2=8（千米）. 因此，他们的速度分别是 小张 10÷2＝5（千米/小时）， 小王 8÷2=4（千米/小时）.

答：小张和小王的速度分别是5千米/小时和4千米/小时. 例12 小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？

出发反向而行.小王以4千米/小时速度每走1小时后休息5分钟；小张以6千米/小时速度每走50分钟后休息10分钟.问：两人出发多少时间第一次相遇？

解：小张的速度是6千米/小时，50分钟走5千米我们可以把他们出发后时间与行程列出下表：

10.5-2＝8.5（千米）.

了

3.5×3＝10.5（千米）.

如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的3倍，因此所需时间是

12＋15＝27比24大，从表上可以看出，他们相遇在出发后2 第一次是出发后 小时10分至3小时15分之间.

30÷（10-5）=6（秒），

出发后2小时10分小张已走了

以后再要到达同一位置是A追上B一圈.需要

90÷（10-5）＝18（秒），

A与B到达同一位置，出发后的秒数是

6，24，42，，78，96，?

此时两人相距

24-（8＋11）=5（千米）.

由于从此时到相遇已不会再休息，因此共同走完这5千米所需 对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一时间是

5÷（4＋6）＝0.5（小时）.

2小时10分再加上半小时是2小时40分. 答：他们相遇时是出发后2小时40分.

位置.

答：3只爬虫出发后60秒第一次爬到同一位置.

请思考， 3只爬虫第二次到达同一位置是出发后多少秒？ 例15 图上正方形ABCD是一条环形公路.已知汽车在AB上的速度是90千米/小时，在BC上的速度是120千米/小时，在CD上

例14 一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3的速度是60千米/小时，在DA上的速度是80千米/小时.从CD上只爬虫A，B，C分别在这3个点上.它们同时出发，按顺时针方向一点P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇.如果从沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？

解：先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置.开始时，它们相差30厘米，每秒钟B能追上C（5-3）厘米0.

30÷（5-3）＝15（秒）.

遇.求

解：两车同时出发至相遇，两车行驶的时间一样多.题中有两个“相遇”，解题过程就是时间的计算.要计算方便，取什么作计算单位是很重要的.

设汽车行驶CD所需时间是1.

因此15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置，B 根据“走同样距离，时间与速度成反比”，可得出 要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要

90÷（5-3）＝45（秒）.

B与C到达同一位置，出发后的秒数是

15，，105，150，195，??

再看看A与B什么时候到达同一位置.

PC中点M，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB上一点N处相

分数计算总不太方便，把这些所需时间都乘以24.这样，汽车行驶CD，BC，AB，AD所需时间分别是24，12，16，18.