2013-2017年高考数学(文)分类汇编：第9章-直线与圆的方程((有答案))AlAUnK

（2）设M?x,y?．因为点M为弦AB中点，即C1M?AB，所以kC1MgkAB??1，

yy3?9?5?2g??1，所以线段AB的中点M的轨迹的方程为?即x??y??x?3?； ???x?3x2?4?3??（3）由（2）知点M的轨迹是以C?23?3?,0?为圆心，r?为半径的部分圆弧EF（不包括

2?2??525??525?两端点），且E??3,?3??．又直线l:y?k?x?4?过定点D?4,0?， ?3,3??，F??????3?k??4??0当直线l与圆C相切时，由?2?k2?1233得k??． ?42又kDE??kDF?25?0????33??2525?325，所以当k?????,?U??,??时， ???7??44??7574?3直线l:y?k?x?4?与曲线C只有一个交点．

题型115 与圆有关的最值或取值范围问题

21．（2015四川理10）设直线l与抛物线y?4x相交于A,B两点，与圆C：

?x?5?2?y2?r2?r?0?相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有

4条，则r的取值范围是（ ）.

A. ?1,3? B. ?1,4? C. ?2,3? D. ?2,4?

1. 解析 设直线l的方程为x?ty?m，代入抛物线方程得y2?4ty?4m?0， 则??16t2?16m?0.又中点M?2t2?m,2t?，则kMC?kl??1，即m?3?2t2.

代入??16t2?16m，可得3?t2?0，即0?t2?3. 又由圆心到直线的距离等于半径，可得d?r?由0?t2?3，可得r??2,4?.故选D.

5?m1?t2?2?2t21?t2?21?t2. 第3节 直线与圆、圆与圆的位置关系

题型108 直线与圆的位置关系

221.（2014 湖北理 12）直线l1:y?x?a和l2:y?x?b将单位圆C:x?y?1分成长度相等的四

段弧，则a2?b2?________.

2.（2014 江西理 9）在平面直角坐标系中，A,B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x?y?4?0相切，则圆C面积的最小值为（ ）.

435? B.? C.6?25? D.? 544223.（2014 福建理 6）直线l:y?kx?1与圆O:x?y?1相交于A,B两点，则\k?1\是“△OABA.

??的面积为

1”的（ ）. 2 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件

4.（2014 大纲理 15）直线l1和l2是圆x2?y2?2的两条切线，若l1与l2的交点为?1,3?，则l1与l2的夹角的正切值等于 .

?3?射出，经y轴反射后与圆?x?3???y?2??1 5．（2015山东理9）一条光线从点??2，22相切，则反射光线所在直线的斜率为( ). A．?或?

5335

B．?32或? 23

C．?54或? 45

D．?43或? 345.解析 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点?2,?3?．

设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y?3?k?x?2?， 即kx?y?2k?3?0．由题意，圆心??3,2?到此直线的距离等于圆的半径1，

43?1，所以12k2?25k?12?0，解得k??或k??．故选D．

34k2?1226．（2015广东理5）平行于直线2x?y?1?0且与圆x?y?5相切的直线的方程是（ ）.

即A．2x?y?5?0或2x?y?5?0 B．2x?y?5?0或2x?y?5?0 C．2x?y?5?0或2x?y?5?0 D．2x?y?5?0或2x?y?5?0 6.解析 设所求切线方程为2x?y?c?0，依题意有?3k?2?2k?30?0?c2?122?5，解得c??5，

所以所求切线的方程为2x?y?5?0或2x?y?5?0．故选A． 7．（2015江苏理10）在平面直角坐标系xOy中，以点?1,0?为圆心且与直线

mx?y?2m?1?0?m?R?相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．

7.解析 解法一（几何意义）：动直线mx?y?2m?1?0整理得m?x?2???y?1??0，

则l经过定点M?2,?1?，故满足题意的圆与l切于M时，半径最大， 从而r??2?1?22???1?0??2，故标准方程为?x?1??y?2．

222m?2m?1

解法二（代数法——基本不等式）：由题意r?d???m2?1m2?122?1??22m?1?，当且仅当m?1时，取“?”． 1?211m?2mm?1mm?m?1故标准方程为?x?1??y2?2．

2m?2m?1

解法三（代数法——?判别式）：由题意r?d?，?22m?1m?12?m?1m2?2m?1t?1?m2?2m?t?1?0，因为m?R， ?设t?，则

m2?1所以????2??4?t?1?…0，解得0剟t2，即d的最大值为2．

228．（2015湖北理14）如图，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A,B （B在A的上方），且AB?2． (1)圆C的标准方程为 ； ．．

(2)过点A任作一条直线与圆O:x2?y2?1相交于M,N两点，下列三个结论： ①NANB?MAMB； ②

NBNA?MAMB?2； ③

NBNA?MAMB?22．

其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号） 8.解析（1）由条件可设圆C的标准方程为(x-1)．．因为AB?2，所以r（2）在(x?1)2+(y?2+(y-r)2?r2(r为半径)，

方程为(x?1)2+(y?2)2?2. ?12?12?2，故圆C的标准．．

2)2?2中令x?0得A(0,2?1),B(0,2?1),

因为N在圆O:x2?y2?1上，所以由三角函数的定义可设N(cos?,sin?),

NAcos2??(sin??2?1)24?22?2(2?1)sin?2(2?1)?从而???2?1.

22NB4?22?2(2?1)sin?2(2?1)cos??(sin??2?1)同理

MAMB?2?1，故

NANB?MAMB，

NBNA?MAMB?12?1?(2?1)?2，

NBNA?MAMB?12?1?(2?1)?22 9．（2015全国II理7）过三点A?1,3?，B?4,2?，C?1,?7?的圆交于y轴于M,N两点， 则MN?（ ）．

A.26 B. 8 C. 46 D. 10

3?212?7??，kCB???3，所以kABkCB??1， 1?434?1所以AB?CB，即△ABC为直角三角形，则外接圆的圆心为AC的中点(1,?2)，

22半径为5，所以外接圆方程为(x?1)?(y?2)?25，令x?0，则有y??26?2，

9. 解析 由题意得kAB?所以MN?46，故选C．

2210．（2015广东理20）已知过原点的动直线l与圆C1:x?y?6x?5?0相交于不同的两点A，

B.

（1）求圆C1的圆心坐标；

（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；

（3）是否存在实数k,使得直线l:y?k(x?4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.

10. 解析 （1）由x2?y2?6x?5?0得?x?3??y2?4，所以圆C1的圆心坐标为?3,0?；

2（2）设M?x,y?．因为点M为弦AB中点，即C1M?AB，所以kC1MgkAB??1，

yy3?9?5?； 2g??1，所以线段AB的中点M的轨迹的方程为?即x??y??x?3????x?3x2?4?3??（3）由（2）知点M的轨迹是以C?23?3?,0?为圆心，r?为半径的部分圆弧EF（不包括

2?2??525??525?两端点），且E??3,?3??．又直线l:y?k?x?4?过定点D?4,0?， ?3,3??，F??????3?k??4??0当直线l与圆C相切时，由?2?k2?1233得k??． ?42