第一章随机事件与概率教案1-5讲

第一章 随机事件与概率

【授课时数】8学时＋2学时习题课

【授课方法】课堂讲授与提问相结合【基本要求】1、理解随机事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与基本运算；2、理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性；3、理解古典概率的定义，了解概率的统计定义；4、掌握概率的基本性质，会应用这些性质进行概率计算；5、了解条件概率的概念，乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式；6、理解事件独立性的概念。【本章重点】理解概率的定义、性质；会简单的概率的计算；理解事件的独立性。【本章难点】判别事件概率的类型及有关计算；【授课内容】 第1讲 §1.1 随机事件及其运算 一、引言

1.确定性现象与不确定性现象（随机现象）：在自然界与人类社会生活中，存在着两类截然不同的现象：一类是确定性现象。例如：早晨太阳必然从东方升起；在标准大气压下，纯水加热到100摄氏度必然沸腾；边长为a，b的矩形，其面积必为ab等。对于这类现象，其特点是：在试验之前就能断定它有一个确定的结果，即在一定条件下，重复进行试验，其结果必然出现且唯一。另一类是随机现象。例如：某地区的年降雨量；打靶射击时，弹着点离靶心的距离；投掷一枚均匀的硬币，可能出现“正面”，也可能出现“反面”，事先不能作出确定的判断。因此，对于这类现象，其特点是可能的结果不止一个，即在相同条件下进行重复试验，试验的结果事先不能唯一确定。就一次试验而言，时而出现这个结果，时而出现那个结果，呈现出一种偶然性。概率论就是研究随机现象的统计规律性的一门数学分支。其研究对象为：随机现象 研究内容为：随机现象的统计规律性。

2.随机现象的统计规律性：以前，由于随机现象事先无法判定将会出现那种结果，人们就以为随机现象是不可捉摸的，但是后来人们通过大量的实践发现：在相同条件下，虽然个别试验结果在某次试验或观察中可以出现也可以不出现，但在大量试验中却呈现出某种规律性，这种规律性称为统计规律性。例如：在投掷一枚硬币时，既可能出现正面，也可能出现反面，预先作出确定的判断是不可能的，但是假如硬币均匀，直观上出现正面与出现反面的机会应该相等，即在大量的试验中出现正面的频率应接近50%，这正如恩格斯所指出的：“在表面上是偶然性在起作用的地方，这种偶然性始终是受内部的隐藏着的规律支配的，而问题只是在于发现这些规律。”因此，人们买彩票经常不能中奖，总是抱怨运气不好，其最主要的原因就是没有进行大量的重复试验，从而也就不能发现其内部隐藏着的规律。 二、基本概念

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本节需要掌握以下基本的概念：

1.随机试验：一个试验如果满足：①可以在相同的条件下重复进行；②其结果具有多种可能性；③在每次试验前，不能预言将出现哪一个结果，但知道其所有可能出现的结果。则称这样的试验为随机试验。简而言之，就是对随机现象的一次观察或试验。通常用大写的字母‘E’表示。

2.样本空间与样本点：由随机试验的一切可能结果组成的一个集合，称为样本空间，用‘?’表示；其．．每个元素称为样本点，用‘?’表示。

例如：E：掷骰子一次，观察出现的点数，则Ω1＝｛?1，?2，…?6｝；E2：投一枚均匀硬币两次，

1观察出现正反面情况，记Z为正面，F为反面，则?2＝｛（Z，Z），（Z，F），（F，F），（F，Z）｝；

E3：电话总机在单位时间内接到的呼唤次数，则?3＝｛0，1，2，…｝；E4：任取－人量其身高，则?4＝｛h:3?h?0｝；E5：任取一人，以身高决定他买票的类型，则该试验的样本空间应以票的类型来

刻画，而不是以身高来刻画的，所以?5={免，半，全}。

注：①样本空间是一个集合，它是由样本点构成。其表示方法，可以用列举法，也可以用描述法。 ②在样本空间中，样本点可以是一维的，也可以是多维的；可以是有限个，也可以是无限个。

③对于一个随机试验而言，样本空间并不唯一。在同一试验中，当试验的目的不同时，样本空间往往是不同的，但通常只有一个会提供最多的信息。例如在运动员投篮的试验中，若试验的目的是考察命中率，则样本空间为?1?{中，不中}；若试验的目的是考察得分情况，则样本空间?1?{0分， 1分，2分，3分}。

3.随机事件：样本空间Ω的某个子集称为随机事件，简称事件。用字母A，B，C等表示。显然它是由部分样本点构成的。随机事件包括基本事件和复合事件。由一个样本点构成的集合称为基本事件；由多个样本点构成的集合称为复合事件。

例如，在投骰子的试验中，事件A：‘掷出偶数点’，用?i表示“出现i点”，则A包含?2、?4、?6这三个样本点，所以它是复合事件。

4.随机事件的发生：某个事件A发生当且仅当A所包含的一个样本点?出现，记为??例如：在投骰子的试验中，设A‘出现偶数点’，则‘出现2点’就意味着2

A。

A发生，并不要求A的每

一个样本点都出现，当然，这也是不可能的。 5.必然事件与不可能事件：

必然事件：在随机试验中，每次试验都必然发生的事件。用?表示； 不可能事件：在随机试验中，每次试验都必然不会发生的事件。用?表示。

例如，在上述掷骰子的试验中，“点数小于7”是必然事件，“点数大于6”是不可能事件。 注：严格来讲，必然事件与不可能事件反映了确定性现象，可以说它们并不是随机事件，但为了研究问题

的方便，我们把它们作为特殊的随机事件。

有了上述讨论，可见事件与集合之间建立了一定的对应关系，从而可用集合的一些术语、符号去描述事件之间的关系与运算。 三、事件间的关系

1.事件的包含：当事件A发生时必然导致事件B发生，则称A包含于B或B包含A，记为A?B?B或

A。即A?B?{若??A,则??B}，用文（Venn）图表示为：

A?若B不发生，则必然A也不会发生。

A；⑵??A??；⑶若A?B，B?C，则A?C。

反之，B?显然，对任意事件A有：⑴A?2.事件的相等：若事件A的发生能导致B的发生，且B的发生也能导致A的发生，则称A与B相等。记为A＝B，即A与B有相同的样本点。显然有A＝B?A?B且B?A

3.事件的互斥（互不相容）：若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥， 记为AB＝?。显然有：⑴基本事件是互斥的；⑵?与任意事件互斥。 四、事件的运算（和、差、积、逆运算）

1.事件的和（并）：两个事件A、B中至少有一个发生的事件，称为事件A与 事件B的并（或和），记为A?显然有：⑴

B（或A＋B）。即A?B＝｛ω/ω?A或ω?B｝

A?A?A；⑵A?A?B，B?A?B；

A?B，则A?B?B。特别地，A????,A???A。

⑶若

2.事件的积（交）：两个事件A与B同时发生的事件，称为事件A与事件B的积（或交）。 记为

A?B（或AB）,即A?B???/??A且??B ?。显然有：⑴A?B?A，A?B?B；

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⑵若A?B，则A?B＝A，特别地A?＝A；⑶若A与B互斥，则AB＝?，特别地?A＝?。 注：事件之间的和、积运算可以推广到有限个和可列无穷多个事件的情形。

3.事件的差：事件A发生而事件B不发生的事件，称为事件A与事件B的差，记为A-B。 即A?B?{??A而??B}。显然有：⑴不要求A?B，才有A?B，若A?B，则A-B??； ⑵若A与B互斥，则A－B＝A，B－A＝B；

⑶A－B＝A－AB（证明：利用； A－B?A－AB且A－AB?A－B）⑷A?(B?C)?A?B?C（左边为A的子事件，而右边不是）。

4.事件的逆（对立事件）：若事件A与事件B满足A?B＝?且AB＝?，则称B为A的逆，记为B＝A。

即A???/??A，???}显然有：⑴A?A＝?，A?A＝?

⑵A－B＝AB（证明：A－B＝A－AB＝A（?－B）＝AB）

注：互逆事件与互斥事件的区别：互逆必定互斥，互斥不一定互逆；互逆只在样本空间只有两个事件时存

在，互斥还可在样本空间有多个事件时存在。

例如，在抛硬币的试验中，设A={出现正面}，B={出现反面}，则A与B互斥且A与B互为对立事件；而在掷骰子的试验中，设A={出现1点}，B={出现2点}，则A与B互斥，但A与B不是对立事件。 五、事件的运算性质（规律）

由前面可知，事件之间的关系与集合之间的关系建立了一定的对应法则，因而事件之间的运算法则与布尔代数中集合的运算法则相同。

1.交换律2.结合律： 3.分配律： 4.德莫根（对偶）定律： 六、举例

例1：设A、B、C为任意三个事件，试用A、B、C的运算关系表示下列各事件：

①三个事件中至少一个发生：A?B?C；②没有一个事件发生 ：ABC?A?B?C（由对偶律） ③恰有一个事件发生：ABC?ABC?ABC；④至多有两个事件发生（考虑其对立事件）

(ABC?ABC?ABC)?(ABC?ABC?ABC)?(ABC)?ABC?A?B?C

⑤至少有两个事件发生 ABC?ABC?ABC?ABC?AB?BC?CA 课后作业：作业：P25 1, 2, 3；3、预习P7-15

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