2.“函数与方程思想”考情的分析与研究

（Ⅲ）解法一：由（II）知：当a≥令a?1时，有f(x)≥lnx(x≥1) 2111，有f(x)?(x?)≥lnx(x≥1)．

2x211且当x?1时，(x?)?lnx

2xk?1k?11k?1k111?[?]?[(1?)?(1?)] 令x?，有lnkk2kk?12kk?1111)，k?1，2，3，?，n. 即ln(k?1)?lnk?(?2kk?1将上述n个不等式依次相加得

ln(n?1)?11111?(????)?， 223n2(n?1)整理得1?111n?????ln(n?1)?． 23n2(n?1)1?1，不等式成立． 4解法二：用数学归纳法证明． （1）当n?1时，左边=1，右边?ln2?（2）假设n?k时，不等式成立，就是1?111k?????ln(k?1)? 23k2(k?1)那么1?1111k1k?2??????ln(k?1)???ln(k?1)? 23kk?12(k?1)k?12(k?1)1时，有f(x)≥lnx(x≥1) 2111令a?，有f(x)?(x?)≥lnx(x≥1)．

22xk?21k?2k?1k?2?)≥ln?ln(k?2)?ln(k?1) 令x?，得(k?12k?1k?2k?1由（II）知：当a≥?ln(k?1)?k?2k?1≥ln(k?2)?

2(k?1)2(k?2)1111k?1?1???????ln(k?2)?.

23kk?12(k?2)这就是说，当n?k?1时，不等式也成立．

根据（1）和（2），可知不等式对任何n?N都成立． 【点评】本小题第（I）问由待定系数法列方程组?*?f(1)?a?b?c?0，从而得到b,c与a?f?(1)?a?b?1 13

的关系。第（II）通过构造函数关系g(x)?f(x)?lnxx??1，???，运用分类讨论的思想方法研究函数g(x)的单调性，求出a的取值范围。值得注意的是，此处若用参数分离法，较为困难。第（Ⅲ）问无论是解法一还是解法二，都由第（II）问得到的不等关系：当a≥时，有f(x)≥lnx(x≥1)恒成立，来解决问题。

12题型四、类比转化，转化函数关系

有关数列、立体几何、解析几何等数学问题，我们通常可以通过类比、联想、抽象、概括等手段，转化某些函数关系，利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数与方程思想解题的更高层次的体现，转化时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移。

例14( 2009.北京.文.20）设数列{an}的通项公式为an?pn?q(n?N?,P?0). 数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an?m成立的所有n中的最小值. （Ⅰ）若p?11,q??，求b3； 23（Ⅱ）若p?2,q??1，求数列{bm}的前2m项和公式；

（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm?3m?2(m?N?)？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.

【考题分析】本小题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、函数与方程、分类讨论等数学思想方法. 【解答过程】（Ⅰ）由题意，得an?∴

111120n?，解n??3，得n? 2323311n??3成立的所有n中的最小整数为7，即b3?7. 23m?1. 2（Ⅱ）由题意，得an?2n?1，对于正整数，由an?m，得n?根据bm的定义可知

**当m?2k?1时，bm?kk?N；当m?2k时，bm?k?1k?N.

????∴b1?b2???b2m??b1?b3???b2m?1???b2?b4???b2m?

??1?2?3???m????2?3?4????m?1???

?m?m?1?m?m?3???m2?2m. 22 14

（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pn?q?m及p?0得n?m?q. p∵bm?3m?2(m?N?),根据bm的定义可知，对于任意的正整数m都有

3m?1?m?q?3m?2，即?2p?q??3p?1?m??p?q对任意的正整数m都成立. pp?q2p?q（或m??），这与上述结论矛盾！ 3p?13p?1当3p?1?0（或3p?1?0）时，得m??当3p?1?0，即p?

12121时，得??q?0???q，解得??q??. 33333∴ 存在p和q，使得bm?3m?2(m?N?)

p和q的取值范围分别是p?

121，??q?? 333【点评】数列是一种特殊的函数，新课程对等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系明确提出来，要考生去体会它们的关系。本小题中数列{an}的通项公式为数列{an}的通项公式为an?pn?q，可知数列?an?是等差数列。

三、实际应用、创新考题考情的分析与研究

题型一、实际问题，建立函数关系

对于实际问题，选择相应的函数关系建立数学模型，利用函数的性质解决问题，是函数思想应用的一个热点，也是高考的热点。考生对解实际问题主要存在三大困难：（1）望而却步，弃城投降。数学实际问题的文字叙述比较长，数量比较多，关系比较隐蔽。因此，许多考生面对篇幅较长的文字叙述，不知从何下手，产生惧怕心理。（2）术语不熟，题意难懂。由于实际应用题中往往带有其他知识领域的名词术语，如利率、利润、打折、保险金、折旧率等。由于这些名词术语的不熟悉，考生很难正确理解题意。（3）杂乱无章，无从下手。许多实际问题中，涉及到的数据多而杂，数量关系不明显，而且数据具有生活实际的本来面目，很难找到解决问题的突破口。

例15（2009.山东.理.21）两县城A和B相聚20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧?AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在弧?对城AAB的中点时，和城B的总影响度为0.065． （Ⅰ）将y表示成x的函数；

（Ⅱ）讨论（Ⅰ）中函数的单调性，并判断弧?AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理

15

厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离，若不存在，说明理由． 【考题分析】本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.

C 22【解答过程】解法一:（1）如图,由题意知AC?BC,BC?400?x, 4ky?2?(0?x?20)

x400?x2其中当x?102时，y?0.065,所以k?9 所以y表示成x的函数为y?x A B

49?(0?x?20) 22x400?x89?(?2x)18x4?8(400?x2)2（2）y'??3?, ?22322x(400?x)x(400?x)令y'?0得18x4?8(400?x2)2, 所以x?160,即x?410,

当0?x?410时, 18x4?8(400?x2)2,即y'?0，所以函数为单调减函数, 当46?x?20时, 18x4?8(400?x2)2,即y'?0所以函数为单调增函数. 所以当x?410时, 即当C点到城A的距离为410时, 函数y?249?(0?x?20)有最小值. x2400?x222解法二: （1）同上.

（2）设m?x,n?400?x, 则m?n?400,y?49?,所以 mn4949m?n14n9m11y???(?)?[13?(?)]?(13?12)?mnmn400400mn40016

4n9m?n?240?即?时取“=”. mn?m?160当且仅当

下面证明函数y?49?在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. m400?m设0?m1?m2?160,则y1?y2?4949??(?) m1400?m1m2400?m2 ?(4(m2?m1)9(m1?m2)4499?)?(?)?? m1m2400?m1400?m2m1m2(400?m1)(400?m2) 16