2.“函数与方程思想”考情的分析与研究

“函数与方程思想”考情的分析与研究

九江市教科所 林健航

纵观近几年的高考数学试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想的考查，一直是高考的重点内容之一。高考试题中，对函数与方程思想的考查既有灵活多变的客观性小题，又有一定能力要求的主观性大题，难度有易有难，可以说是贯穿了数学高考整份试卷。函数与方程思想是最重要的一种数学思想,高考中所占比重比较大，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，高考题对函数的思想方法的考查已经达到较高的层次，综合知识多、题型多、应用技巧多。函数与方程思想几乎渗透到高中数学教学的各个领域，在高中新课标教学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在。

函数的思想，就是运用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的等量关系，建立或构造函数关系，再运用函数的图象和性质去分析问题，达到转化问题的目的，从而使问题获得解决。

方程的思想，就是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型——方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

新课程高考对函数与方程思想的考查的考试要求主要体现在如下两个方面：首先是能力方面的要求：逻辑思维能力、等价转换能力、空间想象能力、运算能力、识别能力、运用数学知识分析问题和解决问题能力。其次是方法方面的要求：1.函数思想主要表现在：（1）引入变量，确定函数关系；（2）选定主元，揭示函数关系；(3)选取变元，构造函数关系；（4）实际问题，建立函数关系；（5）特殊函数，转化函数关系。2.方程思想主要表现在：（1）待定系数法；（2）换元法；（3）转化法；（4）构造方程法.

本文从三个方面对历年高考试题中涉及的函数与方程思想的考题进行分析与研究。

一、基础知识、基本技能考情的分析与研究

这一类考题主要以研究函数的图像与性质为主，研究函数、方程与不等式三者之间的相互关系。题型以选择填空为主，重点考查基本初等函数，如二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等的图像与性质。对函数性质的考查主要有定义域、值域（最值）、奇偶性、周期性、单调性和对称性，对函数图像的考查经常是结合平移变换、对称变换和伸缩变换等三大变换进行的，主要题型有以下几种：

题型一、研究函数的定义域与值域（最值）问题

例1.函数y?ln(x?1)?x?3x?42的定义域为（ ）

A.(?4,?1) B.(?4,1) C.(?1,1) D.(?1,1] 【考题分析】本题主要考查函数定义域的基本求法。

?x?1?0?x??1【解答过程】由?2????1?x?1.故选C

?4?x?1??x?3x?4?0?【点评】高考考查函数的定义域，常有以下几种情况：

(1)已知函数的解析式y?f(x)，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围.

1

①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；

②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；

③若f(x)是偶次根式，则函数的定义域是使被开方数大于或等于0的实数集； ④若f(x)是指数式，则函数的定义域是使底数大于0且不等于1的实数集；

⑤若f(x)是对数式，则函数的定义域是使底数大于0且不等于1，真数大于0的实数集；

⑥若f(x)?tanx，则函数的定义域是?xx?k??????,k???. 2?当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，则先分别求出满足每一个条件的自变量

的范围，再取它们的交集. (2)求抽象函数的定义域

(3)应用题中的定义域除了要使解析式有意义外，还需考虑实际上的有效范围.实际上的有效范围，即实际问题要有意义，一般来说有以下几中常见情况： ①面积问题中，要考虑部分的面积小于整体的面积；

②销售问题中，要考虑日期只能是自然数，价格不能小于0也不能大于题设中规定的值（有的题没有规定）；

③生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只能是自然数，增长率要满足题设； ④路程问题中，要考虑路程的范围. 例2.设函数g(x)?x2?2(x?R)，f(x)???g(x)?x?4，x?g(x),则f(x)的值域是

?g(x)?x，x?g(x)B.?0，???

A.??，0??(1，??)

?9??4?

C.??，???

?9?4??

D.??，0??(2，??)

?9??4?【考题分析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法。

?x2?2?(x?4)(x?x2?2)【解答过程】依题意知f(x)??， 22(x?x?2)?x?2?x?x2?x?2(x??1或x?2) f(x)??2(?1?x?2)?x?x?2画出函数f(x)的图像，由图像知f(x)的值域是??，0??(2，??)

【点评】求函数值域与最值的方法比较多，高考试题经常采用的方法是：（1）结合函数的图

像，利用数形结合的思想求函数的值域；（2）通过换元法，等价转化成为求基本初等函数的

?9??4? 2

值域；（3）通过求导，利用函数的单调性求函数的值域。无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域.

题型二、研究函数奇偶性和周期性

例3（2009.山东.理.10）定义在R上的函数f(x)满足f(x)??则f(2009)的值为( )

A.?1 B. 0 C.1 D. 2 【考题分析】本小题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.

【解答过程】由已知得f(?1)?log22?1,f(0)?0,f(1)?f(0)?f(?1)??1,

?log2(1?x),x?0，

?f(x?1)?f(x?2),x?0f(2)?f(1)?f(0)??1,f(3)?f(2)?f(1)??1?(?1)?0,

f(4)?f(3)?f(2)?0?(?1)?1,f(5)?f(4)?f(3)?1,f(6)?f(5)?f(4)?0,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f(2009)?f(5)?1,故选C. 【点评】对函数周期性的研究，考生应掌握如下几个方面： (1) 周期的定义，周期函数定义域必是无界的

(2)若T是周期，则kT（k?0,k?Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期.周期函数并非所都有最小正周期,如常函数f(x)?C.

(3)若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x?a)?f(x?a),则2a为函数f(x)的周期.（若f(x)满足f(x?a)?f(a?x)，则f(x)的图象以x?a为图象的对称轴，应注意二者的区别)

(b?)a是f(x)的一个周期. (4)若函数f(x)图象有两条对称轴x?a和x?b（a?b），则2(5)若函数f(x)图象有两个对称中心(a,0),(b,0)(a?b)，则2(b?a)是f(x)的一个周期.

(6)若函数f(x)有一条对称轴x?a和一个对称中心(b,0)(a?b),则4(b?a)是f(x)的周期.

4x?1例4.函数f(x)?的图象 x2A.关于原点对称 B.关于直线y?x对称 C.关于x轴对称 D.关于y轴对称 【考题分析】本小题通过考查函数的奇偶性来研究其对称性.

3

4?x?11?4x【解答过程】图像关于y轴对称。?f(?x)??x?x?f(x) ?f(x)是偶函数，

22故选D。

【点评】对函数奇偶性的研究，考生应掌握如下几个方面： (1)根据定义判断函数奇偶性时，要运用以下等价关系： ①f(?x)??f(x)?f(?x)?f(x)?0?f(?x)??1(f(x)?0) f(x)②f(?x)?f(x)?f(?x)?f(x)?0?f(?x)?1(f(x)?0) f(x)(2)性质：

①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. ②y?f(x)是偶函数?y?f(x)的图象关于y轴对称;

y?f(x)是奇函数?y?f(x)的图象关于原点对称.

③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同，

④若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和

11f(x)?[f(x)?f(?x)]?[f(x)?f(?x)]

22⑤奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇 （两函数的定义域D1,D2及

D1?D2要关于原点对称）

⑥对于复合函数F(x)?f[g(x)] 若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数;

若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数; 若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数. ⑦奇函数在x?0处有定义域，则f(0)?0. （4）奇偶性的判断

①根据定义：看定义域是否关于原点对称，判断f(x)与f(?x)的关系. ②观察图形的对称性.

题型三、研究函数单调性

例5(2009.山东.文.12)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x),且在区间

4