CFD - 基 - 础

第1章 CFD基础 9 量(热和功)交换。

控制体是指在流体所在的空间中，以假想或真实流体边界包围，固定不动形状任意的空间体积。包围这个空间体积的边界面，称为控制面。控制体的形状与大小不变，并相对于某坐标系固定不动。控制体内的流体质点组成并非不变的。控制体既可通过控制面与外界有质量和能量交换，也可与控制体外的环境有力的相互作用。

2. 质量守恒方程(连续性方程)

在流场中，流体通过控制面A1流入控制体，同时也会通过另一部分控制面A2流出控制体，在这期间控制体内部的流体质量也会发生变化。按照质量守恒定律，流入的质量与流出的质量之差，应该等于控制体内部流体质量的增量，由此可导出流体流动连续性方程的积分形式为

??t????dxdydz????v?ndA?0 (1-38)

VA式中：V表示控制体，A表示控制面。等式左边第一项表示控制体V内部质量的增量；第二项表示通过控制表面流入控制体的净通量。

根据数学中的奥-高公式，在直角坐标系下可将其化为微分形式：

???t?u?(?u)?x?u?x?v?(?v)?y?w?z?w?(?w)?z?0 (1-39)

对于不可压缩均质流体，密度为常数，则有

??v?y??0 (1-40)

对于圆柱坐标系，其形式为

???t??vrr??(?vr)?r?vr?r??(?v?)r????(?vz)?z?0 (1-41)

对于不可压缩均质流体，密度为常数，则有

vrr???v?r????vz?z?0 (1-42)

3. 动量守恒方程(运动方程)

动量守恒是流体运动时应遵循的另一个普遍定律，描述为：在一给定的流体系统，其动量的时间变化率等于作用于其上的外力总和，其数学表达式即为动量守恒方程，也称为运动方程，或N-S方程，其微分形式表达如下：

??????????????dudtdvdtdwdt??Fbx???Fby???Fbz??pxx?x?pxy?x?pxz?x??pyx?y?pyy?y?pyz?y??pzx?z?pzy?z?pzz?z?? (1-43)

??式中：Fbx、Fby、Fbz分别是单位质量流体上的质量力在三个方向上的分量；pyx是流体内应力张量的分量。

10 Fluent高级应用与实例分析 动量守恒方程在实际应用中有许多表达形式，其中比较常见的有如下几种。 (1) 可压缩粘性流体的动量守恒方程

????????????????????????dudt??fx??p?x???????x????u2??u?v?w?????????2?????z?????x3??x?y????w?u?????z???x??????????u?v?????y???y?xdvdt??fy??p?y??????????z??????y????v2??u?v?w?????????2?????z??????y3??x?y (1-44)

????v?w??????u?v????????????????z???z?y???x???y?x??dwdt??fz??p?z???????z????w2??u?v?w?????23??x?y?z??z????????????????w?u??????v?w??????y??????????x???x?z???z???z?z??(2) 常粘性流体的动量守恒方程

?dvdt??F?gradp??3grad(divv)???v

2 (1-45)

(3) 常密度常粘性流体的动量守恒方程

?dvdt??F?gradp???v2 (1-46)

(4) 无粘性流体的动量守恒方程(欧拉方程)

?dvdt??F?gradp (1-47)

(5) 静力学方程

?F?gradp (1-48)

(6) 相对运动方程

在非惯性参考系中的相对运动方程是研究像大气、海洋及旋转系统中流体运动的所必须考虑的。由理论力学得知，绝对速度va为相对速度vr及牵连速度ve之和，即

va?vr?ve (1-49)

其中，ve?v0???r，v0为运动系中的平动速度，?是其转动角速度，r为质点矢径。

而绝对加速度aa为相对加速度ar、牵连加速度ae及科氏加速度ac之和，即

aa?ar?ae?ac (1-50)

其中，ae?dv0dt?d?dt?r???(??r)，ac?2??vr。

将绝对加速度代入运动方程，即得到流体的相对运动方程

?dvrdt??Fb?divP?ac?2?vr

(1-51)

第1章 CFD基础 11 4. 能量守恒方程

将热力学第一定律应用于流体运动，把式(1-51)各项用有关的流体物理量表示出来，即是能量方程。如式(1-52)所示。

??t(?E)?ui2??xi[ui(?E?p)]????T??keff?xi??xi?hj?j??Jj??uj(?ij)eff??Sh

? (1-52)

式中：E?h?p??2；keff是有效热传导系数，keff?k?kt，其中kt是湍流热传导系数，

根据所使用的湍流模型来定义；Jj?是组分j的扩散流量；Sh包括了化学反应热以及其他用户定义的体积热源项；方程右边的前3项分别描述了热传导、组分扩散和粘性耗散带来的能量输运。

1.2.2 湍流模型

湍流是自然界广泛存在的流动现象。大气、海洋环境的流动，飞行器和船舰的绕流，叶轮机械、化学反应器、核反应器中的流体运动都是湍流。湍流流动的核心特征是其在物理上近乎于无穷多的尺度和数学上强烈的非线性，这使得人们无论是通过理论分析、实验研究还是计算机模拟来彻底认识湍流都非常困难。回顾计算流体力学的发展，特别是活跃的20世纪80年代，不仅提出和发展了一大批高精度、高分辨率的计算格式，从主控方程看相当成功地解决了欧拉方程的数值模拟，可以说欧拉方程数值模拟方法的精度已接近于它有效使用范围的极限；同时还发展了一大批有效的网格生成技术及相应的软件，具体实现了工程计算所需要的复杂外形的计算网格；且随着计算机的发展，无论从计算时间还是从计算费用考虑，欧拉方程都已能适用于各种实践所需。在此基础上，20世纪80年代还进行了求解可压缩雷诺平均方程及其三维定态粘流流动的模拟。20世纪90年代又开始一个非定常粘流流场模拟的新局面，这里所说的粘流流场具有高雷诺数、非定常、不稳定、剧烈分离流动的特点，显然需要继续探求更高精度的计算方法和更实用可靠的网格生成技术。但更为重要的关键性的决策将是，研究湍流机理，建立相应的模式，并进行适当的模拟仍是解决湍流问题的重要途径。

1. 湍流模型分类

湍流流动模型很多，但大致可以归纳为以下3类。

第一类是湍流输运系数模型，即将速度脉动的二阶关联量表示成平均速度梯度与湍流粘性系数的乘积，用笛卡儿张量表示为

??u?uji??ui?uj???t????x?xij??2???k?ij ?3? (1-53)

模型的任务就是给出计算湍流粘性系数?t的方法。根据建立模型所需要的微分方程的数目，可以分为零方程模型(代数方程模型)、单方程模型和双方程模型。

第二类是抛弃了湍流输运系数的概念，直接建立湍流应力和其他二阶关联量的输运 方程。

第三类是大涡模拟。前两类是以湍流的统计结构为基础，对所有涡旋进行统计平均。

12 Fluent高级应用与实例分析 大涡模拟把湍流分成大尺度湍流和小尺度湍流，通过求解三维经过修正的Navier-Stokes方程(纳维-斯托克斯方程，简称N-S方程)，得到大涡旋的运动特性，而对小涡旋运动还采用上述的模型。

实际求解中，选用什么模型要根据具体问题的特点来决定。选择的一般原则是精度要高，应用简单，节省计算时间，同时也具有通用性。

Fluent 提供的湍流模型包括：单方程(Spalart-Allmaras)模型、双方程模型(标准k-?模型、重整化群k-?模型、可实现k-?模型)及雷诺应力模型和大涡模拟，如图1-1所示。

图1-1 湍流模型详解

2. 平均量输运方程

雷诺平均就是把Navier-Stokes方程中的瞬时变量分解成平均量和脉动量两部分。对于速度，有

ui?ui?ui?

(1-54)

式中：ui和ui?分别是平均速度和脉动速度(i?1,2,3)。

类似地，对于压力等其他标量，也有

?????? (1-55)

式中：?表示标量，如压力、能量、组分浓度等。

把上面的表达式代入瞬时的连续与动量方程，并取平均(去掉平均速度上的横线)，可以把连续与动量方程写成如下的笛卡儿坐标系下的张量形式：

???t???xi(?ui)?0 (1-56)

?duidt??p?xi??uj?ul??????ui2??????ij??ui?uj?? (1-57) ????????xj???xj?xi3?xl??xj???????上面两个方程称为雷诺平均的Navier-Stokes(RANS)方程。它们和瞬时Navier-Stokes方