数学理卷·2014届广东省中山市华侨中学高三上学期第三次模拟考试试卷(2013.12)

y?(Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量2?10(x?6)2x?3，所以商场每日销售该商品所获得的f(x)?(x?3)[利润：2?10(x?6)2]?2?10(x?3)(x?6)2,3?x?6x?3，（8分）

f/(x)?10[(x?6)2?2(x?3)(x?6)]?30(x?4)(x?6)， （10分）

令

在(4,6)上递减，所以当x?4时函数f(x)取f/(x)?0得x?4函数f(x)在(3,4)上递增，得最大值f(4)?42

答：当销售价格x?4时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42. （13分）

阅卷人：龚瀚慧

（Ⅰ）由已知18. 解：

3sinB?cosB?1， 整理得

?1sin(B?)?． ?2分 62??5??? 因为0?B??，所以??B???. 故B??，解得B?.?4分

666663c1?5??cb? 由A?，且A?B?C??，得C?. 由，即??，

sinsin124sinCsinB43 解得c?22?6. ??7分 （Ⅱ）因为b2?a2?c2?2accosB，又a?2c，B?，

3322所以b?4c?c?4c?1，解得b?3c. ??10分 2由此得a?b?c，故△ABC为直角三角形，A?2221?c?，． 其面积23S?13．??13分 bc?26阅卷人：孔凡平19.解（I）由题意，当n?1时，得2a1?a1?3，解得a1?3.

当n?2时，得2a2解得a3 所以a1?(a1?a2)?5，解得a2?8. 当n?3时，得2a3?(a1?a2?a3)?7，

?18.

?3，a2?8，a3?18为所求.?3分

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(Ⅱ) 因为

2an?Sn?2n?1，所以有2an?1?Sn?1?2n?3成立.两式相减得：

2an?1?2an?an?1?2.

即an?1?2?2(an?2). ??6分 所以数列?an?2?是以a1?2?5为首项，公比为2的等比数列. ?8分

（Ⅲ）由(Ⅱ) 得：an?2?5?2n?1即an?5?2n?1?2(n?N?).则

nan?5n?2n?1?2n(n?N?).??10分

设数列5n?2?n?1?的前n项和为P,

n12n?2 则Pn?5?1?2?5?2?2?5?3?2?...?5?(n?1)?2 即Pn?(5n?5)?2?5数

列

n0?5?n?2n?1，

(n?N?). ?12分

?n?an?的前

n项和

Tn=

(5n?5)?2n?5?2?n(n?1)2，

Tn?(5n?5)?2n?n2?n?5(n?N?). ?14分

阅卷人：马颖

20.解： x>-1 ?3分（1）

a=3 ?6分

（2）当a=0.5 时，函数f（x）的单调递减区间是（-1，+∞） ?8分

当0.5< a<1，函数f（x）的单调递减区间是（-1,1/a -2）和（0，+∞）单调递增区间(1/a

-2,0)?11分

当 a>=1，函数f（x）的单调递增区间是（-1,0），单调递减区间是（0，+∞）?14分

阅卷人：彭海峰

Sn?Sn1111??f(a)???，依题意，2，即21. 解：(1)f?(x)?nan2an42x4an(an?2). 4a(a?2)当n?1时，a1?S1?11，解得a1?2或a1?0（舍去）. 4a(a?2)an?1(an?1?2)?an2?an?12?2(an?an?1)， ?当n?2时，由an?Sn?Sn?1?nn44∵an?0，∴an?an?1?0，则an?an?1?2，∴?an?是首项为2，公差为2的等差数列，故an?2n. ?4分

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(2) 证法一：

∵11111111?????[?](n?2)， an3(2n)38n?n28n(n2?1)8(n?1)n(n?1)16(n?1)nn(n?1)11111111???????????∴当n?2时，3 a1a23a33an3234363(2n)3?11111111?[(?)?(?)????] 32161?22?32?33?4(n?1)nn(n?1)11511111115??[?]????.当n?1时，不等式左边?3??显然成a18328162n(n?1)816232立. ?.8分 证法二：∵n3?4n(n?1)?n(n2?4n?4)?n(n?2)2?0，∴n3?4n(n?1).

∴1111111????(?)(n?2). 333an(2n)8n32n(n?1)32n?1n11111111???????????∴当n?2时，3 a1a23a33an3234363(2n)3?1111111111115?[(1?)?(?)???(?)]??(1?)???. 3232223n?1n832n83232当n?1时，不等式左边?115??显然成立. (3) 由an?2n，得3a1832cos?an?12?cos(n?1)??(?1)n?1，

设bn?1n?1111，则不等式等价于(?1)??bn. (1?)(1?)???(1?)an?1a1a2anan?1bn?12n?12n?2???1?bn??(2n?1)(2n?3)1?1?2n?31?a?1????n?1?2n?2??an?1?? ∵bn4n2?8n?44n?8n?32?1，

?0，∴bn?1?bn，数列?bn?单调递增. ?.11分

n?1假设存在这样的实数?，使得不等式(?1)??bn对一切n?N*都成立，则

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① 当n为奇数时，得??(bn)min?b1?23； 38585，即???. 1515② 当n为偶数时，得???(bn)min?b2???(?综上，8523,)153，由?是非零整数，知存在???1满足条件． ?.14分

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