全国初中数学竞赛试题及答案(1996年)

1996年全国初中数学联赛试题

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

A．M＞N B．M=N C．M＜N

D．不确定

A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在

3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于 [ ]

4．设x1、x2是二次方程x2+x?3=0的两个根，那么x13?4x22+19的值等于

[ ]

A．?4 B．8 C．6 D．0

5．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的 [ ]

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

6．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有 [ ]

A．4个 B．8个 C．12个 D．24个 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABN=∠MBC，BM=NM，BN=a，则点N到边BC的距离等于______．

3．设1995x3=1996y3=1997z3，xyz＞0，且

4．如图，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至AB＇C＇D＇的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是______．

第二试

一、（本题满分20分）

某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男人和n个女生的捐款总数相等，都是(m·n+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数．

二、（本题满分25分）

设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心OM为半径的圆上一点（位置如图所示），求证：∠OPF=∠OEP．

三、（本题满分25分）

已知a、b、c都是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值．

1996年全国初中数学联赛参考答案

第一试

一、选择题 1．B 2．A 4．D 5．A 二、填空题

3．B 6．C

第二试

一、

解 据题意m+11=n+9，且整除mn+9m+11n+145，而mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46，故m+11，n+9都整除46，由此得

综上可知，每人捐款数为25元或47元．

二、

证 作AD、BO的延长线相交于G，∵OE

三、

解 据题意，方程ax2+bx+c=0有两个相异根，都在(?1，0)中，故

经检验，符合题意，∴a+b+c=11最小．