高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第八节函数与方程学案文含解析新人教A版

高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第八节函数

与方程学案文含解析新人教A版

第八节 函数与方程

2019考纲考题考情

1．函数的零点 (1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点。 (2)几个等价关系

方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点。 (3)函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根。

2．二分法

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

3．二次函数y＝ax＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

2 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点

(x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 1

零点个数 2 1 0

1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点。函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根。

2．函数零点存在定理是零点存在的一个充分不必要条件。 3．周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点。

一、走进教材

1．(必修1P92A组T2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

x f(x) A．(1,2) C．(3,4)

1 －4 2 －2 3 1 4 4 5 7 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为( ) B．(2,3) D．(4,5)

解析 由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2,3)内有零点。故选B。

答案 B

2．(必修1P88例1改编)函数f(x)＝e＋3x的零点个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3

1x解析 由f′(x)＝e＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，

e因此函数f(x)有且只有一个零点。故选B。

答案 B 二、走近高考

3．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x－2x＋a(e111

A．－ B. C. D．1

232解析 令f(x)＝0，则x－2x＝－a(e

－1

2

2

xx－1

＋e

－x＋1

)有唯一零点，则a＝( )

x－1

＋e

－x＋1

)，设g(x)＝e

x－1

＋e

－x＋1

，则g′(x)＝e

x－e

－x＋1

＝e

x－1

e－1

－x－1＝，当g′(x)＝0时，x＝1，故当x<1时，g′(x)<0，函数g(x)x－1

ee

2

1

2(x－1)

在(－∞，1)上单调递减，当x>1时，g′(x)>0，函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，当x＝1时，函数g(x)取得最小值2，设h(x)＝x－2x，当x＝1时，函数h(x)取得最小值－1，1

若－a<0，h(1)＝－ag(1)时，此时函数h(x)和－ag(x)有一个交点，即－a×2＝－1?a＝。2故选C。

1

解析：f(2－x)＝(2－x)－2(2－x)＋a[e1

＝－1＋2a＝0，解得a＝。故选C。

2

22－x－1

＋e

－(2－x)＋1

1－xx－1

]＝x－2x＋a(e＋e)＝f(x)，

2

所以f(x)的图象关于x＝1对称，而f(x)有唯一的零点，则f(x)的零点只能为x＝1，即f(1)

答案 C 三、走出误区

微提醒：①不解方程确定函数零点出错；②不加区分有无区间限定的零点问题致错。 1

4．函数f(x)＝x＋的零点个数是________。

x解析 函数的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)<0，所以函数没有零点。

答案 0

5．若二次函数f(x)＝x＋kx＋k在R上无零点，则实数k的取值范围是________。 解析 Δ＝k－4k<0，解得0

6．若二次函数f(x)＝x－2x＋m在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是________。

解析 二次函数f(x)图象的对称轴方程为x＝1。若在区间(0,4)上存在零点，只需f(1)≤0且f(4)>0即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－8

答案 (－8,1]

考点一函数零点的判断与求解微点小专题 方向1：判断零点所在的区间 【例1】 (1)已知函数f(x)＝所在区间为( )

A．(0,1) C．(2,3)

B．(1,2) D．(3,4)

1

为奇函数，g(x)＝lnx－2f(x)，则函数g(x)的零点x－a2

2

2

?1?x－23

(2)设函数y＝x与y＝??的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0

?2?

所在的区间是________。

解析 (1)由函数f(x)＝

12为奇函数，可得a＝0，则g(x)＝lnx－2f(x)＝lnx－，x－ax2

所以g(2)＝ln2－1<0，g(3)＝ln3－>0，所以g(2)·g(3)<0，可知函数的零点在(2,3)之间。

3故选C。

?1?x－233

(2)设f(x)＝x－??，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x与y?2?

1

?1?x－2的图象如图所示。因为f(1)＝1－?1?－1＝－1<0，f(2)＝8－?1?0＝7>0，所以＝???2??2??2?????

f(1)·f(2)<0，所以x0∈(1,2)。

答案 (1)C (2)(1,2)

确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法

1．利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0。若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点。

2．数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断。 方向2：确定函数零点个数

??x＋x－2，x≤0，【例2】 (1)函数f(x)＝?

?－1＋lnx，x>0?

2

的零点个数为( )

A．3 B．2 C．1 D．0

(2)(2019·天津河东模拟)函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3

??x≤0，

解析 (1)由f(x)＝0得?2

?x＋x－2＝0?

??x>0，

或?

?－1＋lnx＝0，?

解得x＝－2或x＝e。因

此函数f(x)共有2个零点。故选B。

解析：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点。故选B。

1