2018届高考新课标数学文大一轮复习检测：第十二章 推理与证明、算法、复数 12-1 含答案 精品

A组 专项基础训练

(时间：35分钟)

1．(2017·太原模拟)某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天． 甲说：我在1日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班； 丙说：我们三人各自值班的日期之和相等． 据此可判断丙必定值班的日期是( ) A．2日和5日 B．5日和6日 C．6日和11日 D．2日和11日

12

【解析】 这12天的日期之和S12＝(1＋12)＝78，甲、乙、丙各自的日期之和是26.

2对于甲，剩余2天日期之和22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日有值班；对于乙，剩余2天日期之和是9，可能是2日，7日，也可能是4日，5日，因此丙必定值班的日期是6日和11日．

【答案】 C

2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x＋1)是奇函数，以上推理( )

A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确

【解析】 f(x)＝sin(x＋1)不是正弦函数，所以小前提错误． 【答案】 C

3．(2017·重庆模拟)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为( )

2

2

2

A．21 B．34 C．52 D．55

【解析】 因为2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.

【答案】 D

4．给出下列三个类比结论：

①(ab)＝ab与(a＋b)类比，则有(a＋b)＝a＋b；

nnnnnnn

②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)＝a＋2ab＋b与(a＋b)类比，则有(a＋b)＝a＋2a·b＋b. 其中正确结论的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3

【解析】 (a＋b)≠a＋b(n≠1，a·b≠0)，故①错误． sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立．

如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝由向量的运算公式知③正确． 【答案】 B

5．若数列{an}是等差数列，则数列{bn}?bn＝

3

，故②错误． 4

nnn2

2

2

2

2

2

2

??

a1＋a2＋…＋an?

?也为等差数列．类比这一性n?

质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为( )

A．dn＝

c1＋c2＋…＋cnc1·c2·…·cn B．dn＝ nnnnnnc1

＋c2＋…＋cnnC．dn＝ D．dn＝c1·c2·…·cn

n【解析】 若{an}是等差数列， 则a1＋a2＋…＋an＝na1＋

n（n－1）

d，

2

（n－1）dd∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，

222即{bn}为等差数列； 若{cn}是等比数列，则

c1·c2·…·cn＝c1·qnn1＋2＋…＋(n－1)

n（n－1）

＝c1·q， 2

nn－1

∴dn＝c1·c2·…·cn＝c1·q2，

即{dn}为等比数列，故选D. 【答案】 D

6．(2017·烟台模拟)观察下列不等式： 131＋2<， 221151＋2＋2<， 233

11171＋2＋2＋2<， 2344……

照此规律，第五个不等式为______________．

【解析】 观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．

1111111

故第五个不等式为1＋2＋2＋2＋2＋2<.

2345661111111

【答案】 1＋2＋2＋2＋2＋2<

234566

7．(2017·山东威海第一次模拟)对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式13??15??3?

的“分裂”：2＝?，3＝?9，4＝?，…仿此，若m的“分裂”数中有一个是73，则m?17?5??11??19

?7

3333

的值为________．

【解析】 由题意可得，m的“分裂”数为m个连续奇数，设m的“分裂”数中第一个数为am，则由题意可得a3－a2＝7－3＝4＝2×2，a4－a3＝13－7＝6＝2×3，…，am－am－1＝（4＋2m－2）（m－2）

2(m－1)，以上m－2个式子相加可得am－a2＝＝(m＋1)(m－2)，∴am2＝a2＋(m＋1)(m－2)＝m－m＋1，

∴当m＝9时，am＝73，即73是9的“分裂”数中的第一个，故答案为9. 【答案】 9

8．(2017·厦门模拟)已知等差数列{an}中，有

3

2

3

3

a11＋a12＋…＋a20a1＋a2＋…＋a30

10

＝30

，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论：___________________________________.

【解析】 由等比数列的性质可知

b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，

∴10

b11b12…b20＝

10

30

b1b2…b30.

30

【答案】 b11b12…b20＝b1b2…b30

1

9．设f(x)＝x，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归

3＋3纳猜想一般性结论，并给出证明．

11

【解析】 f(0)＋f(1)＝0＋1

3＋33＋3

＝

13－13－33＋＝＋＝，

2631＋33＋3

3

， 3

1

同理可得：f(－1)＋f(2)＝

f(－2)＋f(3)＝

3

，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 3

归纳猜想得：当x1＋x2＝1时， 均有f(x1)＋f(x2)＝

3. 3

证明：设x1＋x2＝1，

f(x1)＋f(x2)＝

1＋

3x1＋33x2＋3

1

＝

（3x1＋3）＋（3x2＋3）

3x1＋3x2＋23

＝ （3x1＋3）（3x2＋3）3x1＋x2＋3（3x1＋3x2）＋33x1＋3x2＋233＝＝. 3（3x1＋3x2）＋2×33（3x1＋3x2＋23）3

1

3x1＋3x2＋23

＝

10．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：

AD2＝

1

AB2＋1

AC2，那么在四面体A-BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．

【解析】 如图所示，由射影定理得

AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC， AC2＝BC·DC，

∴1

AD2＝

1

BD·DCBC2BC2

＝＝. BD·BC·DC·BCAB2·AC2

又BC＝AB＋AC，

2

2

2

AB2＋AC211

∴2＝2. 2＝2＋ADAB·ACABAC21

猜想，四面体A-BCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD， 则1

AE2

＝

1

AB2

＋1

AC2

＋

1

AD2

. 证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.