（完整版）东南大学08-09-3高等数学B期中试卷参考答案

08-09-3

高数B（期中）试卷参考答案

09.4.17

一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）

1．设向量 a?{1,1,5},b?{8,?4,1}，则a在b上的投影(a)b?1；

?x2?y2?z2?3?2y2?4y?z2?1?02．曲线?在yOz平面上的投影曲线为?；

?x?0?x?y?23．设z?z(x,y)是由方程y?z?xf(y?z)所确定的隐函数，其中f可微，则全微分

22dz?f2xyf??1dx?dy； ??1?2xzf1?2xzf?(?1)nnxe的收敛域是(??,0]； 4．级数?nn?15．设f(x)?x?1(0?x??)，而S(x)?3?bn?1?nsinnx(???x???)，其中

bn?2???028?1?f(x)sinnxdx,n?1,2,L，则S?????．

27?3?二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）

?xy,(x,y)?(0,0)?226．函数f(x,y)??x?y在点(0,0)处 [ C ]

?0,(x,y)?(0,0)?(A)连续且偏导数存在 (B) 连续但偏导数不存在

(C)不连续但偏导数存在 (D) 不连续且偏导数不存在 7．已知级数

?un?1?n条件收敛，则级数

?un?1?2n [ D ]

（A）发散 （B）条件收敛 （C）绝对收敛 （D）可能收敛可能发散 8．下列广义积分中收敛的是 [ C ] （A）

?e1??dx （B）?exlnx??dx （C）?2xlnxlnxx?13dx （D）?10arctanxx52dx

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?x?3?2ty?2?9．直线L1:?y?1?3t与L2:x?1??z [ B ]

2?z?5?4t? （A）平行 （B）垂直但不相交 （C）垂直相交 （D）异面且不垂直 三.计算下列各题(本题共5小题，每小题8分，满分40分) 10．一直线过点M0(2,?1,3)且与直线L:x?1??y?z?2相交，又平行于平面 2?:3x?2y?z?5?0，求此直线方程.

x?2y?1z?3， 由该直线与直线L共面，得 ??lmn4l?9m?n?0 由该直线与平面?平行，得3l?2m?n?0，

x?2y?1z?3解得l??11m，n?35m，代入所求直线方程，得. ??11?1?35x?5xyz?811．求两条直线L1:之间的距离d. ?y?1?z?2与L2:???422?3解 设所求直线方程为

51?6ijk5解 ?411?15， ?411?25， d?

322?322?312．设f(x)?1(n)f(?1). ，求22x?13x?15解 f(x)?11?21?2111?????? ??2x?12x?13x?157?2x?3x?5?71?2(x?1)281?41?(?1)nn!?n?11??n?1n(n)2?(x?1)f(?1)?2?， ??n?1?n?1?4?7?4??(?1)n??7n?0??x?y?2?02213．试求过直线?，且与曲面z?x?y相切的平面方程.

?x?5y?z?3?0解 设过直线??x?y?2?0的平面方程为(1??)x?(1?5?)y??z?2?3??0，

?x?5y?z?3?0 设切点为(x0,y0,z0)，则

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?(1??)x0?(1?5?)y0??z0?2?3??0(1)?2y01?2x0??(2) 由（2），（3）解得 ?1??1?5???22?(3)?z0?x0?y0(1??)2?(1?5?)21??1?5?2，z0?， 代入（1）得7??8??1?0，解x0?,y0?24?2?2?得?1?1,?2?1，从而两切平面方程分别为 72x?4y?z?5?0和8x?2y?z?17?0。

14．将f(x)?1?x在[0,?]上展成余弦级数. 解 a0?2???0(1?x)dx?2??， an?2???0(1?x)cosnxdx?2n(1?(?1))， 2n?n?1,2,L， 1??2?1cos(2n?1)x?1?x，x?[0,?] ??n?1(2n?1)224?2?2f2?f?b?0 四（15）（本题满分8分）设ab?0,f(x,y)具有二阶连续偏导数，且a22?x?y2,f(ax,bx)?ax，fx(ax,bx)?bx，求fxx(ax,bx)，fxy(ax,bx)，fyy(ax,bx).

解 对f(ax,bx)?ax的等号两端关于x求导，得afx?bfy?a，（1）

2对fx(ax,bx)?bx的等号两端关于x求导，得afxx?bfxy?2bx，（2）

对（1）式的等号两端关于x求导，得afxx?2abfxy?bfyy?0，（3）

2?2f2?f?b?0解得 从（2），（3）及条件a?x2?y2222fxy(ax,bx)?0，fxx(ax,bx)?2b2ax，fyy(ax,bx)??x ab?x2n五（16）（本题满分8分）求幂级数?的和函数，并指明收敛域.

(2n)!n?0共 4 页 第 3 页

x2n?2(2n)!x2?2n?lim?0，收敛域为(??,??) 解 limn??(2n?2)!n??x(2n?1)(2n?2)?x2nx2n?2?S(x)， 记幂级数?的和函数为S(x)，S??(x)??(2n)!(2n?2)!n?0n?1?ex?e?x S(0)?1,S?(0)?0，S(x)?2六（17）（本题满分8分）设a1?1,a2?1,an?2?an?1?an,n?1,2,L，证明级数

?an?1?1n

收敛.

证 易知?an?是正数列，且an?an?1?an?2?0，所以?an?单调递增， 故an?an?1?an?2?2an?1，从而an?1?213an， 于是an?an?1?an?2?an?1， 22n?2121?2?1?2?0????????L???an3an?1?3?an?2?3??2?而级数???n?1?3?

?n?21?2?????a2?3?n?2，n?3,4,L，

收敛，由比较判别法得知

1收敛. ?n?1an?

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