[数学]福建省2018年高中数学联赛（福建省赛区）预赛试题 含答案

2018年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛

暨2018年福建省高中数学竞赛试卷

（考试时间：2018年5月20日上午9：00—11:30，满分160分）

一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分.请直接将答案写在题中的横线上） 1.将正偶数集合?2,4,6，?从小到大按第n组有3n?2个数进行分组：

?2?,?4,6,8,10?,?12,14,16,18,20,22,24?，

，则2018位于第 组.

2.在?ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若a?2,b?3,C?2A，则

cosC? . 3.设复数z满足z?i?2 ，则 z?z的最大值为 .（i为虚数单位，z为复数z的共轭复数）

4.已知定义在R上的奇函数f?x?的图像关于直线x?2对称，当0?x?2时，f?x??x?1，则f??100??f??101?? .

5.从如图所示的由9个单位小方格组成的3?3方格表的16个顶点中任取三个顶点，则这三个点构成直角三角形的概率为 .

6.如图，在三棱锥P?ABC中，?PAC,?ABC都是边长为6的等边三角形，若二面角

P?AC?B的大小为1200，则三棱锥P?ABC外接球的面积为 .

x2y2??1的左、右焦点，点P在双曲线C上，G,I分别为7.已知F1,F2分别为双曲线C:412?F1PF2的重心、内心，若GI//x轴，则?F1PF2的外接圆半径R? . 8.最近网络上有一篇文章很火.源于一道常见题目：（见图），这貌似易解的题目，里面竟然蕴藏了深奥的大道理.

（本题不作为本次考试的试题，本次试题如下） 设a,b??2,3,4,5,6,7,8?，则

ab?的最大值为 .

10b?a10a?b

54329.已知整数系数多项式f?x??x?a1x?a2x?a3x?a4x?a5，若f?3?2?0，

?f?1??f?3??0则f??1?? . 10.已知函数f?x?满足：对任意实数x,y，都有f?x?y??f?x??f?y??6xy成立，且

?2?f?1??f??1??9，则f??? .

?3?二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分.要求写出解题过程） 11.已知数列?an?的前n项和Sn满足2Sn?nan?n,n?N*，且a2?3. （1）求数列?an?的通项公式； （2）设bn?数n的值.

an91，Tn为数列?bn?的前n项和，求使Tn?成立的最小正整

20an?1?an?1an?26?x2y2,1?12.已知F1,F2分别为椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左、右焦点，点P?在椭圆C??ab?3??265?上，且?F1PF2的垂心为P??3,?3??.

??（1）求椭圆C的方程；

（2）设A为椭圆C的左顶点，过点F2的直线l交椭圆C于D,E两点，记直线AD,AE的斜

率分别为k1,k2，若k1?k2??1，求直线l的方程. 213.如图，在锐角?ABC中，D,E是边BC上的点，?ABC,?ABD,?ADC的外心分别为

O,P,Q.

证明：（1）?APQ∽?ABC； （2）若EO?PQ，则QO?PE.

14.已知f?x??e?mx.

x（1）若x?0时，不等式?x?2?f?x??mx?2?0恒成立，求实数m的取值范围；

2（2）若x1,x2是函数f?x?的两个零点，求证：x1?x2?2. 15.设M是由有限个正整数构成的集合，且M?A1里Ai??,Bi??,i?1,2,A2A20?B1B2B20，这

20，并对任意的1?i?j?20，都有AiAj??，BiBj??.

已知对任意的1?i?20,1?j?20，若AiBj??，则AiBj?18，求集合M的元素个

数的最小值.（这里，X表示集合X的元素个数）

试卷答案

一、填空题： 1．27 2.

19894 3. 6 4. 2 5. 6. 84? 7. 5 8. 9. 24 10. 4352873二、解答题：

11. 解：（1）由2Sn?nan?n，得2Sn?1??n?1?an?1?n?1． 将上述两式相减，得2an?1??n?1?an?1?nan?1；

?nan??n?1?an?1?1① ??n?1?an?1?nan?2?1②

① ?②，得nan?2nan?1+nan?2?0 ?an?an?2?2an?1

?数列?an?为等差数列；

又由2S1?a1?1，及a2?3，得a1?1，?an?的公差d?2；

?an?1?2?n?1??2n?1．

解法二：用数学归纳法（略）

注：若猜出?an?1?2?n?1??2n?1，没有证明，扣5分． （2）由（1）知，bn??2n?1?1

2n?1??2n?1?2n?1?bn???2n?1?12n?1??2n?1?2n?112n?1?2n?1?2n?1?2n?1?

12n?1?2n?11?11???????22n?1?2n?12?2n?12n?1?1?1111?Tn??????2?13351?1???1??2?2n?1?由?Tn??11???2n?12n?1?

91?1?9，得?1? ??202?2n?1?20?9911 ?，?2n?1?100，?n?22n?110?使得Tn?

9成立的最小正整数n的值为50． 2012.解：设F1PF2的垂心为?1??c,0?,F2?c,0?．由?F?265??3,?3??，得F1H?PF2． ???kF1H?kPF2512453????1,?c2?，解得c2?1．

932626?c?c33?由点P??26?24122222C??1,1a?b?c?1在椭圆上，得．结合，解得 a?4,b?3．?22?3?9ab??x2y2?1． ?椭圆C的方程为?43（2）由（1），知A??2,0?,F2?1,0?

若l斜率不存在，则由对称性，k1?k2?0，不符合要求 若l斜率存在，设为k，则l的方程为y?k?x?1?

?y?k?x?1??2222由?x2y2，得?4k?3?x?8kx?4k?12?0?1???43①

8k24k2?12,x1?x2?设D?x1,y1?,E?x2,y2?，则x1?x2? 224k?34k?3?k1?k2?k?x1?1?k?x2?1??y1y33??2???k?1??1?? x1?2x2?2x1?2x2?2x2?2??x1?2?3?x1?x2?4???2k2?1?1?k??2??k?2??? ???2x?2x?2kk??2??????1又k1?k2??

13.解：（1）连结PD,QD

1，因此k?2，直线l的方程为：y?2?x?1?，即2x?y?2?0． 2