圆锥曲线定值问题

一、 定值（点）问题

x2y21. 已知椭圆2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1，F2， 点M?0,2?是椭圆的

ab一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1， k2，且k1?k2?8，证明：直线AB过定点（?

1,?2）． 2x2y22. 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的两个焦点分别为F1(?2,0)，F2(2,0)，点

abM(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点,设点N(3,2)，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1?k2为定值.

x2y233. 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点?0,1?，且离心率为.

2ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）A1,A2为椭圆C的左、右顶点，直线l:x?22与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A1,A2的动点，直线A1P,A2P分别交直线l于E,F两点.证明：DE?DF恒为定值.

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x2y214. 已知椭圆C：2?2?1?a?b?0?的离心率是，其左、右顶点分别为A1，A2，B

ab2为短轴的端点，△A1BA2的面积为23． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）F2为椭圆C的右焦点，若点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，直线A1P，A2P

与直线x?4分别交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆与直线PF2相切于点

F2．

x2y225. 已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，且经过点M(?2,0)．

ab2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设直线l：y?kx?m与椭圆C相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，连接MA，MB并延长交直线x=4于P，Q两点，设yP，yQ分别为点P，Q的纵坐标，且

1111???．求证：直线l过定点． y1y2yPyQ

6x2y26. 已知椭圆2?2?1的一个焦点为F(2,0)，且离心率为．

ab3（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）斜率为k的直线l过点F，且与椭圆交于A,B两点，P为直线x?3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程.

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7．如图，已知抛物线y2?4x的焦点为F．过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1)，

B(x2,y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N．

（Ⅰ）求y1y2的值；

（Ⅱ）记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2.证明：

k1为定值． k2x228.已知椭圆C：?y?1的短轴的端点分别为A,B,直线AM,BM分别与椭圆C交于E,F两

4点，其中点M (m,

1) 满足m?0，且m??3. 2（Ⅰ）求椭圆C的离心率e； （Ⅱ）用m表示点E,F的坐标；

（Ⅲ）若?BME面积是?AMF面积的5倍，求m的值.

x2y29.已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1,F2，点B(0,3)为短轴的一个

ab端点，?OF2B?60?. （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）如图，过右焦点F2，且斜率为k(k?0)的直线l与椭圆C相交于E,F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE,AF分别交直线x?3于点M,N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k'.求证: k?k'为定值.

x2y2??1与直线l：y?kx?m交于A,B10.已知椭圆E：84 3

两点,O为坐标原点.

（Ⅰ）若直线l椭圆的左焦点，且k=1，求△ABC的面积；

（Ⅱ）若OA?OB，且直线l与圆O：x?y?r相切，求圆O的半径r的值.

11.已知抛物线C:y2?2px的焦点坐标为F(1,0)，过F的直线l交抛物线C于A,B两点，

直线AO,BO分别与直线m：x??2相交于M,N两点. （Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）证明△ABO与△MNO的面积之比为定值.

222x2y210)，且椭圆C的离心率为. 12.已知椭圆C：2?2?1（a?b?0）过点(2，ab2（Ⅰ）求椭圆C的方程；

N两点，（Ⅱ）若动点P在直线x??1上，过P作直线交椭圆C于M，且MP?PN，

再过P作直线l?MN.证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标.

13.已知抛物线C：y?2px(p?0)的焦点为F（1,0），点O为坐标原点，A，B是曲线C

上异于O的两点. （Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）若直线OA，OB的斜率之积为?

21,求证：直线AB过定点． 2 4