全国高中数学竞赛专题-不等式

例12 设x1≥x2≥x3≥x4≥2, x2+x3+x4≥x1，求证：(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4. 证明：设x1=k(x2+x3+x4)，依题设有

2

1≤k≤1, x3x4≥4， 32

(1?k)2原不等式等价于(1+k)(x2+x3+x4)≤4kx2x3x4(x2+x3+x4)，即(x2+x3+x4) ≤x2x3x4，

4k1?1?因为f(k)=k+在?,1?上递减，

k?3?13??2211(1?k)3所以(x2+x3+x4)=(k??2)(x2+x3+x4)≤·3x2=4x2≤x2x3x4. 4k4k4所以原不等式成立。

9.局部不等式

例13 已知x, y, z∈R+，且x2+y2+z2=1，求证：证明：先证

xyz33???.

21?x21?y21?z2x332?x. 221?x2

1?2x2(1?x2)2?因为x(1-x)=21?2?2????, 2?3?333xx2x2332所以???x. 22221?xx(1?x)33同理

z332y332，?z， ?y21?z221?y2xyz3323322???(x?y?z)?.

221?x21?y21?z2abc??例14 已知0≤a, b, c≤1，求证：≤2。 bc?1ca?1ab?1a2a?. ① 证明：先证

bc?1a?b?c所以

即a+b+c≤2bc+2.

即证(b-1)(c-1)+1+bc≥a.

因为0≤a, b, c≤1，所以①式成立。 同理

b2bc2c?,?. ca?1a?b?cab?1a?b?c三个不等式相加即得原不等式成立。

10.利用函数的思想

111??的最小值。 a?bb?cc?a55解：当a, b, c中有一个为0，另两个为1时，f(a, b, c)=，以下证明f(a, b, c) ≥.

22例15 已知非负实数a, b, c满足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)=

2ca?b13?2?. , f(a, b, c)=2c?1c?1a?b3(a?b)2因为1=(a+b)c+ab≤+(a+b)c，

4不妨设a≥b≥c，则0≤c≤

解关于a+b的不等式得a+b≥2(c2?1-c).

t12?, g(t)在[c?1,??）上单调递增。 2c?1t3又因为0≤c≤，所以3c2≤1. 所以c2+a≥4c2. 所以2(c2?1?c)≥c2?1.

3考虑函数g(t)=

2ca?b12c2(c2?1?c)1?2???所以f(a, b, c)=2≥2 22c?1c?1a?bc?1c?12(c?1?c)2cc2?1?c=2 ?2c?1c?1?1?c3c2?12?c?1?=2?

?2??2?2?c?1?c3≥4??253(1???2c2?1 2c2?1)c?.

223?3??c?≥0 ?c?.

4?4?下证3(1?c2?1)?c?0 ① ?3?c?3c2?1?c2+6c+9≥9c2+9?c?因为c?

5533?，所以①式成立。所以f(a, b, c) ≥，所以f(a, b, c)min=.

223411.构造法

例16 证明：

≤

。

提示：构造出（x，0）到两定点的距离之差，并利用数形结合的方法得知两边差小于第三边且三点

共线时取最大值，从而结论得证。

12.运用著名不等式

（1）平均值不等式：

设a1, a2,?,an∈R+，记Hn=

n111????a1a2an, Gn=na1a2?an, An=

a1?a2???an,

n22a12?a2???an则Hn≤Gn≤An≤Qn. 即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均。 Qn?n其中等号成立的条件均为a1=a2=?=an.

当n=2时，平均值不等式就是已学过的基本不等式及其变式,所以基本不等式实际上是均值不等式的特例 证明：由柯西不等式得An≤Qn，再由Gn≤An可得Hn≤Gn，以下仅证Gn≤An.

1）当n=2时，显然成立；

2）设n=k时有Gk≤Ak，当n=k+1时，记1?ka1a2?akak?1=Gk+1. 因为a1+a2+?+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥kka1a2?ak?kkak?1?Gk?1

≥2k2ka1a2?ak?1Gk?1?2k2kGk?1?2kGk+1,

所以a1+a2+?+ak+1≥(k+1)Gk+1，即Ak+1≥Gk+1. 所以由数学归纳法，结论成立。

例17 利用基本不等式证明a?b?c?ab?bc?ca.

【思路分析】左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换的方法. ．．【略解】a2?b2?2ab,同理b2?c3?2bc,c2?a2?2ca；三式相加再除以2即得证. 【评述】（1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧.

22xnx12x2如?????x1?x2???xn，可在不等式两边同时加上x2?x3???xn?x1. x2x3x1k?1k?12k222

再如证(a?1)(b?1)(a?c)3(b?c)3?256a2b2c3(a,b,c?0)时，可连续使用基本不等式.

a?b2a2?b2)? （2）基本不等式有各种变式 如(等.但其本质特征不等式两边的次数及系数是相等22的.如上式左右两边次数均为2，系数和为1.

例18 已知a?b?1,a,b?0,求证：a?b?441. 81，如何也转化为a、b的4次式呢. 8

【思路分析】不等式左边是a、b的4次式，右边为常数【略解】要证a?b?4411,即证a4?b4?(a?b)4. 88（2）柯西（Cavchy）不等式：设a1、a2、a3，?，an是任意实数，则

2222(a1b1?a2b2???anbn)2?(a12?a2???an)(b12?b2???bn).

等号当且仅当bi?kai(k为常数，i?1,2,?,n)时成立.

证明：不妨设ai(i?1,2,?,n)不全为0，bi也不全为0（因为ai或bi全为0时，不等式显然成立）.

记A=a1?a2???an，B=b1?b2???bn. 且令xi?

222222aib,yi?i(i?1,2,?,n), AB22222则x1?x2???xn?1,y12?y2???yn?1.原不等式化为x1y1?x2y2???xnyn?1. 22222即2(x1y1?x2y2???xnyn)?x1. ?x2???xn?y12?y2???yn它等价于(x1?y1)2?(x2?y2)2???(xn?yn)2?0.

其中等号成立的充要条件是xi?yi(i?1,2,?,n). 从而原不等式成立，且等号成立的充要条件是bi?kai(k?A). B变式1：若ai∈R, bi∈R, i=1, 2, ?, n，则(a)??i?1bin2i(?ai)2(?bi)2i?1i?1nn.等号成立条件为ai=λbi,(i=1, 2, ?, n)。

变式2：设ai, bi同号且不为0(i=1, 2, ?, n)，则

ai??bi?1in(?ai)2n?abii?1i?1n.等号成立当且仅当b1=b2=?=bn.

i

222xnxnx12x2?1例19 设x1,x2,?,xn?R，求证：??????x1?x2???xn.

x2x3xnx1?

【思路分析】 注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之. 【评述】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之. 【详解】 ∵x1,x2,?,xn?0，故由柯西不等式，得

222xnxx12x2(x2?x3???xn?x1)(?????1?n)

x2x3xnx1

?(x2?x1x2?x3?x2x3???xn?xn?1xn?x1?xnx1)2?(x1?x2???xn?1?xn)2，

222xnxnx12x2?1∴??????x1?x2???xn. x2x3xnx1【评述】这是高中数学联赛题，还可用均值不等式、数学归纳法、比较法及分离系数法和构造函数法等来证之.

（3）排序不等式：（又称排序原理）设有两个有序数组a1?a2???an及b1?b2???bn.