广东省六校(广州二中,深圳实验,珠海一中,中山纪念,东莞中学,惠州一中)2018届第三次联考数学(理)

【答案】(Ⅰ)【解析】试题分析： (Ⅰ) 分

和

；(Ⅱ)(i)答案见解析；(ii)17份.

两种情况分别求得利润，写成分段的形式即可得到所求．(Ⅱ)(i) 由题

意知的所有可能的取值为62，71，80，分别求出相应的概率可得分布列和期望； (ii)由题意得小店一天购进17份食品时，利润的所有可能取值为58，67,76,85，分别求得概率后可得的分布列和期望，比较试题解析： （Ⅰ）当日需求量当日需求量

时，利润

，

，

的大小可得选择的结论．

时，利润

所以关于的函数解析式为

的所有可能的取值为62，71，80， ，

的分布列为： 62 0．1 71 0．2 80 0．7 ，

．

（Ⅱ）（i）由题意知并且∴X P ∴

．

元．

表示当天的利润(单位：元)，那么

85 0．54 的分布列为

（ii）若小店一天购进17份食品，Y P ∴

的数学期望为

58 0．1 67 0．2 76 0．16 元．

，

由以上的计算结果可以看出

即购进17份食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润． ∴所以小店应选择一天购进17份．

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19. 如图，在四棱锥

，

（Ⅰ）证明：平面（Ⅱ）求二面角

中，

，，分别是

平面

是平行四边形，，

的中点．

，，

；

的余弦值．

【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：

（Ⅰ）运用几何法和坐标法两种方法进行证明可得结论．（Ⅱ）运用几何法和坐标法两种方法求解，利用坐标法求解时，在得到两平面法向量夹角余弦值的基础上，通过图形判断出二面角的大小，最后才能得到结论． 试题解析： 解法一：（Ⅰ）取

中点

，连

，

∵∴∵∴∴∴∵∴

， ，

是平行四边形，

， 是等边三角形，

，

，

平面

，

，

，

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∴∵∴∴∵∴∵∴平面

. 分别是∥

，，

，

平面平面

平面

， ，

. ，

，

的平面角.

,

，

，

∥

的中点， ， ，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知∴

是二面角

在中，根据余弦定理得，

∴二面角解法二：（Ⅰ）∵

，∴

∴∴∴以

的余弦值为．

，

是平行四边形，

， 是，

的中点，

是等边三角形，∵，∵.

∥

为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，，

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设，由，，

可得，，，

∴，

∵∵∴∵∴∵

是的中点，∴， ， ，平面平面

平面

， ，

.

，

，

∴平面

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．

设是平面的法向量，

由令又∴

由图形知二面角∴二面角

，则

是平面

．

，得，

的法向量，

，

为钝角，

的余弦值为.

20. 已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右顶点，点

满足．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线经过点且与交于不同的两点、，试问：在轴上是否存在点，使得直线

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