2016新课标三维人教A版数学选修2-2 阶段质量检测（三） 数系的扩充与复数的引入

(时间： 120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

7－i

1．i是虚数单位，复数＝( )

3＋iA．2＋i C．－2＋i 解析：选B

B．2－i D．－2－i

7－i(7－i)(3－i)20－10i

＝＝＝2－i.

10103＋i

2．(全国卷Ⅱ)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝( ) A．－1 C．1

B．0 D．2

解析：选B ∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i， ∴4a＋(a2－4)i＝－4i.

??4a＝0，

∴?2解得a＝0.故选B. ?a－4＝－4.?

3．若复数z满足A．1－i C．－1－i

＝i，其中i是虚数单位，则z＝( )

1－i

B．1＋i D．－1＋i

z

解析：选A z＝(1－i)i＝－i2＋i＝1＋i，z＝1－i，故选A. 4．设i是虚数单位，则复数

2i

在复平面内所对应的点位于( ) 1－i

B．第二象限 D．第四象限

A．第一象限 C．第三象限 解析：选B

2i(1＋i)2(i－1)2i＝＝＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平

21－i(1－i)(1＋i)

面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.

(1－i)2

5．已知z＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( ) A．1＋i C．－1＋i

B．1－i D．－1－i

(1－i)2(1－i)2－2i－2i(1－i)

解析：选D 由z＝1＋i，得z＝＝＝＝－1－i，故选D.

1＋i1＋i(1＋i)(1－i)

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6．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是z，则A．－1－2i C．－1＋2i

B．－2＋i D．1＋2i

2－zz

等于( )

2－z2－(－1＋i)

解析：选C 由题意可得z＝

－1－i＝

(3－i)(－1＋i)

＝－1＋2i，故选C.

(－1－i)(－1＋i)

13

7．已知复数z＝－＋i，则z＋|z|＝( )

2213A．－－i

2213C.＋i 22

13B．－＋i

2213D.－i 22

1313

解析：选D 因为z＝－＋i，所以z＋|z|＝－－i＋

2222?－1?2＋32＝1－3i. ?2?222

8．已知复数z满足(1－i)z＝i2 016(其中i为虚数单位)，则z的虚部为( ) 1

A. 21C.i 2

1B．－

21D．－i

2

11111＝＋i，∴z＝－i，∴z的

221－i22

解析：选B ∵2 016＝4×504，∴i2 016＝i4＝1.∴z＝1

虚部为－.故选B.

2

9．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是( )

A．等腰三角形 C．等边三角形

B．直角三角形 D．等腰直角三角形

――→――→

解析：选B 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA，OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．

10．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是( ) A．z对应的点在第一象限 B．z一定不为纯虚数 C.z对应的点在实轴的下方 D．z一定为实数

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解析：选C ∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1＞0，∴z对应的点在实轴的上方．又∵z与z对应的点关于实轴对称．

∴C项正确．

11．设z的共轭复数为z，若z＋z＝4，z·z＝8，则A．1 C．±1

B．－i D．±i

zz

等于( )

???2a＝4，?a＝2，

?解析：选D 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，由条件可得?2解得2

??a＋b＝8.2.??b＝±

z2－2i1－iz?z＝2＋2i，?z＝2－2i，(1－i)2－2i

因此?或?所以z＝＝＝＝＝－i，或z

22＋2i1＋i(1＋i)(1－i)z＝2－2i，z＝2＋2i.??z2＋2i1＋i(1＋i)22i

＝＝＝＝＝i，所以z＝±i. 2－2i1－i(1－i)(1＋i)2

y

12．已知复数z＝(x－2)＋yi(x，y∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则x的最大值是( )

A.3 2

B.3 3

1C. 2

D.3

解析：选D 因为|(x-2)+yi|=3，所以(x-2)2+y2=3，所以点(x，y)在以y

C(2,0)为圆心，以为半径的圆上，如图，由平面几何知识-3≤≤3.

x

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________． 解析：复数z＝(5＋2i)2＝21＋20i，其实部是21. 答案：21

14．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________． 解析：由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2.

答案：－2

15．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为3，则(a＋bi)(a－bi)＝________. 解析：∵|a＋bi|＝a2＋b2＝3， ∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3. 答案：3

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16．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________. 解析：设m＝bi(b∈R且b≠0)，则x2＋(2－i)x＋(2bi－4)i＝0，化简得(x2＋2x－2b)＋(－

2

???x＋2x－2b＝0，?x＝－4，

x－4)i＝0，即?解得?∴m＝4i.

?－x－4＝0，???b＝4，

答案：4i

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求m取何值时？

(1)z是实数. (2)z是纯虚数．

(3)z对应的点位于复平面的第一象限．

解：(1)由m2＋3m＋2＝0且m2－2m－2＞0，解得m＝－1或m＝－2，复数表示实数． (2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数． 由lg(m2－2m－2)＝0，且m2＋3m＋2≠0， 求得m＝3，故当m＝3时，复数z为纯虚数．

(3)由lg(m2－2m－2)＞0，且m2＋3m＋2＞0，解得m＜－2或m＞3，故当m＜－2或m＞3时，复数z对应的点位于复平面的第一象限．

18．(本小题满分12分)已知(1＋2i)z＝4＋3i，求z及解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi. ∴(1＋2i)(a－bi)＝4＋3i， ∴(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i.

??a＋2b＝4，

由复数相等，解得?

?2a－b＝3，???a＝2，

解得?

?b＝1.?

zz

.

∴z＝2＋i.

z24－1＋4i34∴＝＝2＝＝＋i.

555zz·z|z|z

z·z

19．(本小题满分12分)已知z＝1＋i，a，b为实数． (1)若ω＝z2＋3z－4，求|ω|； z2＋az＋b

(2)若2＝1－i，求a，b的值．

z－z＋1解：(1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i，

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