高考数学二轮复习专题二第3讲平面向量案文

3答案 5三、解答题

?π?9.设向量a＝(3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈?0，?.

2??

(1)若|a|＝|b|，求x的值；

(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值. 解 (1)由|a|＝(3sin x)＋(sin x)＝4sinx， |b|＝(cos x)＋(sin x)＝1， 及|a|＝|b|，得4sinx＝1.

1π?π?又x∈?0，?，从而sin x＝，所以x＝.

2?26?(2)f(x)＝a·b＝3sin x·cos x＋sinx ＝

π?1311?sin 2x－cos 2x＋＝sin?2x－?＋，

6?2222?

2

2

2

2

2

2

2

2

2

π?π?π??当x＝∈?0，?时，sin?2x－?取最大值1.

2?6?3??3

所以f(x)的最大值为.

2

??π?10.(2017·贵阳调研)已知向量a＝?cos?＋x?，??2?

f(x)＝a·b.

(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；

sin?

?π＋x??，b＝(－sin x, 3sin x)，

???2??

(2)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f??＝1，a＝23，求三角

?2?形ABC面积的最大值.

解 (1)∵a＝(－sin x，cos x)，b＝(－sin x，3sin x)， 则f(x)＝a·b＝sinx＋3sin xcos x

π?113?＝(1－cos 2x)＋sin 2x＝sin?2x－?＋， 6?222?2π

∴f(x)的最小正周期T＝＝π，

2

πππ3

当2x－＝＋2kπ，k∈Z时，即x＝＋kπ(k∈Z)，f(x)取最大值是.

6232

2

?A??A??π?1

(2)∵f??＝sin?A－?＋＝1，

6?2?2??

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π?π?1

∴sin?A－?＝，∴A＝.

6?23?

∵a＝b＋c－2bccos A，∴12＝b＋c－bc，

∴b＋c＝12＋bc≥2bc，∴bc≤12(当且仅当b＝c＝23时等号成立). 13

∴S＝bcsin A＝bc≤33.

24

∴当三角形ABC为等边三角形时面积取最大值是33. 11.已知函数f(x)＝2cosx＋23sin xcos x(x∈R).

2

2

2

2

2

2

2

2

?π?(1)当x∈?0，?时，求函数f(x)的单调递增区间；

2??

(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝3，f(C)＝2，若向量m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，求a，b的值.

π??2

解 (1)f(x)＝2cosx＋3sin 2x＝cos 2x＋3sin 2x＋1＝2sin?2x＋?＋1，

6??πππ

令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，

262ππ

解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

36

?π??π?因为x∈?0，?，所以f(x)的单调递增区间为?0，?. 2?6???

π?π?1??(2)由f(C)＝2sin?2C＋?＋1＝2，得sin?2C＋?＝，

6?6?2??π?π13π?

而C∈(0，π)，所以2C＋∈?，，

6?6?6?π5π

所以2C＋＝π，解得C＝.

663

因为向量m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线， sin A1a1

所以＝.由正弦定理得＝，①

sin B2b2π222

由余弦定理得c＝a＋b－2abcos ，

3即a＋b－ab＝9.②

联立①②，解得a＝3，b＝23.

2

2

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