高考数学二轮复习专题二第3讲平面向量案文

π??∵f(B)＝－2，∴2sin?2B＋?＝－2， 6??

π?2π?即sin?2B＋?＝－1，解得B＝(B∈(0，π)).

6?3?∵BC＝3，∴a＝3，

∵sin B＝3sin A，∴b＝3a，∴b＝3. 331

由正弦定理，有＝，解得sin A＝.

sin A2π2

sin

3ππ

∵0＜A＜，∴A＝.

36π

∴C＝，∴c＝a＝3.

6

→→2π3∴BA·BC＝cacos B＝3×3×cos ＝－. 32

探究提高 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化.

2.这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.

→→【训练3】 (2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝3，AB·AC ＝－6，S△ABC＝3，求A和a.

→→

解 因为AB·AC＝－6，所以bccos A＝－6，

又因为S△ABC＝3，所以bcsin A＝6， 3π

因此tan A＝－1，又0

2

2

2

2

??2?

?＝29， 2?

- 9 -

1.平面向量的数量积的运算有两种形式：

(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；

(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.

2.根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直. 3.两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.

一、选择题

→?13?→?31?

1.(2016·全国Ⅲ卷)已知向量BA＝?，?，BC＝?，?，则∠ABC＝( )

?22? ?22?A.30° C.60°

B.45° D.120°

→→

→→ 3

解析 |BA|＝1，|BC|＝1，cos∠ABC＝＝.∵0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝

→→2

|BA|·|BC|

BA·BC30°. 答案 A

2.(2017·北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2

解析 存在负数λ，使得m＝λn，则m·n＝λn·n＝λ|n|<0，因而是充分条件，反之m·n<0，不能推出m，n方向相反，则不是必要条件. 答案 A

3.(2017·汉中模拟)已知向量a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－1)，若(2a＋b)⊥c，则|b|＝( )

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A.9 C.109

B.3 D.310

解析 向量a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－1)， ∴2a＋b＝(1，x－8)，

由(2a＋b)⊥c，可得1＋8－x＝0，解得x＝9. 则|b|＝（－3）＋9＝310. 答案 D

→→→→

4.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，则FD·FE等于( )

22

3

A.－

41C.－

4

8B.－

94D.－

9

→→→1

解析 ∵BF＝2FO，圆O的半径为1，∴|FO|＝，

3

→→→→→→→2→→→→→?1?28

∴FD·FE＝(FO＋OD)· (FO＋OE)＝FO＋FO·(OE＋OD)＋OD·OE＝??＋0－1＝－. ?3?9答案 B

5.(2017·安徽江淮十校联考)已知平面向量a，b(a≠0，a≠b)满足|a|＝3，且b与b－a的夹角为30°，则|b|的最大值为( ) A.2 C.6

B.4 D.8

→→→→→

解析 令OA＝a，OB＝b，则b－a＝AB－OA＝AB，如图.

∵b与b－a的夹角为30°， ∴∠OBA＝30°.

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→

∵|a|＝|OA|＝3，

→→|OA||OB| →

∴由正弦定理得＝，|b|＝|OB|＝6·sin∠OAB≤6.

sin∠OBAsin∠OAB答案 C 二、填空题

6.(2017·全国Ⅲ卷)已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________. 解析 由题意，得－2×3＋3m＝0，∴m＝2. 答案 2

7.(2017·德州模拟)已知平面向量a和b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则 |a＋2b|＝________.

解析 ∵〈a，b〉＝60°，a＝(2，0)，|b|＝1， 1

∴a·b＝|a||b|·cos 60°＝2×1×＝1，

2又|a＋2b|＝a＋4b＋4a·b＝12， 所以|a＋2b|＝12＝23. 答案 23

→→→

8.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5 AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的面积比值

为________.

2

2

2

解析 设AB的中点为D，

→→→→→→→由5AM＝AB＋3AC，得3AM－3AC＝2AD－2AM，

→→即3CM＝2MD.

如图所示，故C，M，D三点共线， →3→

且MD＝CD， 5 也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5， 3

则△ABM与△ABC的面积比值为.

5

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