高考数学二轮复习专题二第3讲平面向量案文

A.I1＜I2＜I3 C.I3＜I1＜I2

B.I1＜I3＜I2 D.I2＜I1＜I3

→→→→

(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的

最大值为________.

解析 (1)如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AO

＝90°，∴∠AOB与∠COD为钝角，∠AOD与∠BOC为锐角，根据题意，I1－I2＝OA·OB－OB·OC →→→→→＝OB·(OA－OC)＝OB·CA＝ →→

|OB||CA|·cos∠AOB<0，

∴I1I3，作AG⊥BD于G， 又AB＝AD，

∴OB

∴|OA||OB|<|OC||OD|，

→→→→

而cos∠AOB＝cos∠COD<0，∴OA·OB>OC·OD，

即I1>I3.∴I3

(2)法一 如图，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，

则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)， 设E(t，0)，t∈[0，1]，

- 5 -

→→

则DE＝(t，－1)，CB＝(0，－1)， →→

所以DE·CB＝(t，－1)·(0，－1)＝1.

→→→

因为DC＝(1，0)，所以DE·DC＝(t，－1)·(1，0)＝t≤1，

→→

故DE·DC的最大值为1.

→→→→→

法二 如图，无论E点在哪个位置，DE在CB方向上的投影都是CB＝1，所以DE·CB＝|CB|·1

＝1，

→→

当E运动到B点时，DE在DC方向上的投影最大，即为DC＝1，

→→→

所以(DE·DC)max＝|DC|·1＝1.

答案 (1)C (2)1 1

探究提高 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.

2.进行向量的数量积的运算，首先要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量.其次注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形. 命题角度2 平面向量数量积的性质

1【例2－2】 (1)(2016·山东卷)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm3＋n)，则实数t的值为( ) A.4 9C. 4

B.－4 9D.－

4

(2)(2017·哈尔滨模拟)平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝2，a＋b在a上的投影为5，则|a－2b|的模为( ) A.2 C.8

解析 (1)∵n⊥(tm＋n)，

B.4 D.16

- 6 -

∴n·(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n＝0， ∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|＝0，

3122

由已知得t×|n|×＋|n|＝0，解得t＝－4.

43

（a＋b）·aa＋a·b16＋a·b(2)|a＋b|cos〈a＋b，a〉＝|a＋b|·＝＝＝5；

|a＋b||a||a|4∴a·b＝4.

又(a－2b)＝a－4a·b＋4b＝16－16＋16＝16. ∴|a－2b|＝4. 答案 (1)B (2)B

2

2

2

2

2

2

a·b探究提高 1.求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π].

|a|·|b|

2.两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝ |a＋b|.

3.求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1)a＝a·a＝|a|或|a|＝a·a. (2)|a±b|＝（a±b）＝a±2a·b＋b. (3)若a＝(x，y)，则|a|＝x＋y.

→→→1→

【训练2】 (1)(2015·福建卷)已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t，若点P是△ABC所在平面内

t →→

4AC→ →→

的一点，且AP＝＋，则PB·PC的最大值等于( )

→ →

|AB||AC|

2

2

2222

2

ABA.13 C.19

B.15 D.21

33

(2)(2017·郴州二模)已知a，b均为单位向量，且(2a＋b)·(a－2b)＝－，则向量a，b2的夹角为________.

→?1?→?1?解析 (1)建立如图所示坐标系，则B?，0?，C(0，t)，AB＝?，0?，AC＝(0，t)， ?t? ?t?

- 7 -

→→

4AC→ 则AP＝＋ →→

|AB||AC|

AB?1?4

＝t?，0?＋(0，t)＝(1，4). ?t?t∴点P(1，4)，

→→?1?则PB·PC＝?－1，－4?·(－1，t－4) ?t?

?1?＝17－?＋4t?≤17－2

?t?

1

·4t＝13，

t11

当且仅当4t＝，即t＝时取等号，

t2→→

故PB·PC的最大值为13.

(2)设单位向量a，b的夹角为θ， 则|a|＝|b|＝1，a·b＝cos θ. 33

∵(2a＋b)·(a－2b)＝－，

2

33322

∴2|a|－2|b|－3a·b＝－3cos θ＝－，∴cos θ＝，

22π

∵0≤θ≤π，∴θ＝.

6π

答案 (1)A (2)

6

热点三 平面向量与三角的交汇综合

【例3】 (2017·郑州质检)已知向量m＝(2sin ωx，cosωx－sinωx)，n＝(3cos ωx，1)，其中ω＞0，x∈R.若函数f(x)＝m·n的最小正周期为π. (1)求ω的值；

→→

(2)在△ABC中，若f(B)＝－2，BC＝3，sin B＝3sin A，求BA·BC的值.

解 (1)f(x)＝m·n＝23sin ωxcos ωx＋cosωx－sinωx＝3sin 2ωx＋cos 2ωx＝π??2sin?2ωx＋?. 6??

2π

∵f(x)的最小正周期为π，∴T＝＝π.

2|ω|∵ω＞0，∴ω＝1.

(2)设△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c.

2

22

2

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