2011年高考数学“数列” - 高考生必备基础知识

即数列an?2是以首项为a1?2?2?2,公比为2?1的等比数列. ∴an?（n∈N+） 2?2(2?1)n，

??（Ⅱ）解法1：用数学归纳法证明．

（ⅰ）当n?1时，因2?2，b1?a1?2，所以

2?b1≤a1，结论成立．

（ⅱ）假设当n?k时，结论成立，即2?bk≤a4k?3， 也即0?bk?2≤a4k?3?3． 当n?k?1时，

bk?1?2?3bk?4?2

2bk?3?(3?22)bk?(4?32)

2bk?3(3?22)(bk?2)?0，

2bk?311??3?22，

2bk?322?3?又

所以 bk?1?2?(3?2b2k?)(2bk?3

2)?(3?22)2(bk?2) ≤(2?1)4(a4k?3?2) ?a4k?1?2．

也就是说，当n?k?1时，结论成立．

，2，3，…． 根据（ⅰ）和（ⅱ）知2?bn≤a4n?3，n?1解法2：由bn?1?于是

3bn?43b?4(3?22)(bn?2) ,得bn?1?2?n?2?2bn?32bn?32bn?3 - 5 -

1bn?1?2令

?2bn?3(3?22)(bn?2)?(3?22)(2bn?3)bn?2?(3?22)2bn?2?2(3?22)1bn?2?cn,得cn?1?(3?22)2cn?2(3?22),

有cn?1??22??. ?(3?22)2?c?n?44???∵c1?21232 ???1?444b1?2?2?32∴数列?cn?，公比为（3+22）2的等比数列. ?是以首项为1+

4?4?2?n?124?32?∴cn?, ??3?22????44??bn?12222?2??2??2?2. 2n?14n?2cn(3?22)?1(2?1)?1又a4n?3?2(2?1)4n?3?2,

∴要证明bn?a4n?3， 只需证明????2?1?4n?2?1?(2?1)4n?3?2.而

???2?14n?2?1?(2?1)4n?3?(2?1)????????2?1??2?1??4n?3?(2?1)4n?3

?2?1?(2?1)4n?3?2?1?1?2?2,综上所得2?bn?a4n?3.

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