专题23 正弦定理和余弦定理的应用(教学案)-2017年高考数学(文)一轮复习精品资料(原卷版)

1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

1．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角

在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1)．

(2)方位角

从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图2)． (3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．

高频考点一 考查测量距离

例1、如图所示，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A、C之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF，用卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：∠AEF＝α，∠AFE＝β，∠CEF＝θ，∠CFE＝φ，∠AEC＝γ.请你用文字和公式写出计算A、C之间距离的步骤和结果．

【方法技巧】求距离问题时要注意

(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解；

(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 【变式探究】

隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距3 km的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．

高频考点二 考查高度问题

例2、如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( )

A．2.7 m B．17.3 m C．37.3 m D．373 m

[来源:ZXXK]

【方法技巧】求解高度问题首先应分清

(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角； (2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；

(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．

【变式探究】如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．

高频考点三 考查方位角

例3、如图，我国的海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B处里一外国船只，且D岛位于海监船正东142海里处．

(1)求此时该外国船只与D岛的距离；

(2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行．为了将该船拦截在离D岛12海里处，不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值．

(参考数据：sin 36°52′≈0.6，sin 53°08′≈0.8)

【方法技巧】解决方位角问题其关键是弄清方位角概念．结合图形恰当选择正、余弦定理解三角形，同时注意平面图形的几何性质的应用．

【变式探究】如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m km后在B处测量该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．

高频考点四 考查函数思想在解三角形中的应用

例4、如图所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？

【方法技巧】函数思想在解三角形中常与余弦定理应用及函数最值求法相综合，此类问题综合性较强，能力要求较高，要求考生要有一定的分析问题解决问题的能力．

解答本题利用了函数思想，求解时把速度表示为时间的函数，利用函数最值求法完成解答，注意函数1

中以为整体构造二次函数，求最值．

t

21113

【变式探究】如图所示，已知树顶A离地面米，树上另一点B离地面米，某人在离地面米的C处

222看此树，则该人离此树________米时，看A，B的视角最大．

【2016高考四川文科】（本题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且

cosAcosBsinC. ??abc