浙江省杭州市高三第二次高考科目教学质量检测数学试题（全WORD版）

13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．

【答案】 (1). (2).

【解析】由三视图知，该几何体是由四分之一球与半个圆锥组合而成，则该组合体的体积为

，

表面积为

，从而问题可得解.

14. 在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosC＝______；当BC＝1时，则△ABC的面积等于______．

【答案】 (1). - (2).

，设

，则

，又

，根据余弦得，

，根据三角形面积

【解析】由题意，根据正弦定理得，

；由

公式得

，从而问题可得解.

15. 盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球(取出不放回)，取完为止，则共有_______种不同的取法（用数字作答）． 【答案】32

【解析】由题意，一次可以取球的个数为1，2，3，4，5，6个，则若一次取完可由1个6组成，有1种；二次取完可由1与5，2与4，3与3组成共5种；三次取完由1，1，4或1，2，3或2，2，2组成共10种；四次取完有1，1，1，3或1，1，2，2组成共10种；五次取完，由1，1，1，1，2个组成共5种；六次取完由6个1组成共有1种，综上得，共有32种. 点睛：此题主要考查数学中计数原理在实际问题中的应用，属于中档题型，也是常考考点.计数原理是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解计数问题最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具. 16. 设函数f(x)（x∈R）满足|f(x)－x2|≤，|f(x)＋1－x2|≤，则f(1)＝______．

【答案】 【解析】由时，有

，又

，得

，由

，从而可知

，得

，从而问题可得解.

，则当

17. 在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则【答案】2

的最大值为_____．

三、解答题：（本大题共5小题，共74分） 18. 已知函数f(x)＝

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和最大值； （Ⅱ）求函数y＝f(－x)的单调减区间．

【答案】(1)见解析;(2)(＋2kπ，＋2kπ)（k∈Z）． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知，根据诱导公式，可将函数

的解析式进行化简整理，再根

据正弦函数周期的计算公式，可求出原函数的最小正周期，根据正弦函数的值域，可求出原函数的最大值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数的解析式，根据正弦函数的单调减区间，从而问题可得解.

试题解析：（Ⅰ）因为sin(x＋)＝cos(x－)， 所以 f (x)＝2sin(x＋)＝－2sin(x＋)．

所以函数f (x)的最小正周期是2π，最大值是2． （Ⅱ）因为f (－x)＝2sin(x－)，

所以单调递减区间为(＋2kπ，＋2kπ)（k∈Z）．

点睛：此题主要考查三角函数中诱导公式的应用，以及三角函数的最小正周期、单调区间、最值等有关方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考考点.解决此类问题过程中，常需要通过诱导公式、三角恒等变换公式将函数解析式进行化归，即含一种三角函数名、一个角的解析式，再进行求解运算.

19. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，M为线段BC的中点，D为线段BC上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD． （Ⅰ）证明：平面AMC′⊥平面ABD；

（Ⅱ）求直线C′D与平面ABD所成的角的正弦值．

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意，可根据面面垂直的判定定理进行求解，将问题转化为线面垂直，再转化为线线垂直，即先证

，

，则

平面

，从而问题可得解；

（Ⅱ）由题意，可作出所求线面角，再根据正弦函数值的定义进行求解，从而问题可得解，或可采用向量法进行求解亦可. 试题解析：（Ⅰ）有题意知AM⊥BD， 又因为 AC′⊥BD， 所以 BD⊥平面AMC， 因为BD平面ABD，

所以平面AMC⊥平面AB D．

（Ⅱ）在平面AC′M中，过C′作C′F⊥AM交AM于点F，连接F D． 由（Ⅰ）知，C′F⊥平面ABD，所以∠C′DF为直线C′D与平面

所成的角．

设AM＝1，则AB＝AC＝2，BC＝，MD＝2－，

DC＝DC′＝3－2，AD＝－．

在Rt△C′MD中，

＝9－4．

设AF＝x，在Rt△C′FA中，AC′－AF＝MC′－MF， 即 4－x＝(9－4)－(x－1)， 解得，x＝2－2，即AF＝2－2． 所以 C′F＝2故直线

与平面

．

所成的角的正弦值等于

＝

．

2

2

2

2

2

2

20. 已知函数f(x)＝

（Ⅰ）求函数f(x)的导函数f ′(x)； （Ⅱ）证明：f(x)＜【答案】(1)

（e为自然对数的底数）．

;(2)见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意，根据函数导数的计算公式、法则进行运算，从而问题可得解；（Ⅱ）由题意，可将不等式的证明转化为求函数的单调性、最值的问题，通过研究函数的单调性，求出函数的最值，再根据最值点的范围，从而问题可得解. 试题解析：（I）（Ⅱ）设则函数g(x)在

单调递减，且

． ， ，

，