毕业论文原稿

学校编码：15014 分类号 密级

学号：11104010110 UDC

本科毕业论文(设计)

利用函数的性质证明不等式

学生姓名：陈美雪

所属院部：数学与统计学院

专 业：应用数学 指导教师：马丽娜

2015年 5 月 1日

赤峰学院本科毕业论文(设计)原创性声明

兹呈交的毕业论文(设计)，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。本人在论文(设计)写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文(设计)而产生的权利和责任。

声明人（签名）：

指导教师（签名）：

年 月 日

摘要：不等式是数学中不可缺少的工具之一，有许多不等式在数学研究中有着重要的作用。在中学数学中证明不等式的方法有许多，但用初等数学知识证明不等式比较困难。本文将证明不等式的若干方法集中在利用函数的性质，如单调性、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式、函数的极值与最值、函数的凹凸性来证明不等式，从而使不等式的证明方法更加完善。

关键词：不等式、证明、方法

一、利用函数的单调性

定理1 设函数f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上单调递增（减）的充分必要条件是

f'(x)?0(f'(x)?0).

定理2 若函数f(x)在(a,b)上可导，则f在(a,b)上严格递增（递减）的充要条件是 1） 对一切x?(a,b)，有f(x)?0(f(x)?0). 2） 在任意(a,b)子区间上f(x)?0.

定理3 设函数f(x)在区间I上可微，若f(x)?0(f(x)?0)，则f(x)在I上严格递增（减）.

例1 证明不等式

'''''ex?1?x,x?0.

证明：设f(x)?e?1?x，则f(x)?e?1，故当x?0时，f(x)?0，f严格递增；当x?0，

x'x'f'(x)?0，f严格递减。又由于f在

x?0处连续，则当

x?0时

f'(x)?f(0)?0.

从而得证

ex?1?x,x?0.

例2 证明不等式

x3sinx?x? (x?0).

6x3证明：令f(x)?sinx?x?，则当x?0时，有

6f''(x)?f'(x)?x?sinx?0，

??'

'所以f(x)在x?0严格单调增加，即当x?0时有

x2f(x)?cosx?1??f'(0)?0.

2'由此可知f(x)在?0,???也是严格单调增加的，这样，当x?0时，便成立

x3f(x)?sinx?x??f(0)?0.

6

二、利用拉格朗日（Lagrange)中值定理

定理1 （罗尔（Rolle)中值定理） 若函数满足以下条件： 1.f在闭区间[a,b]上连续； 2.f在开区间(a,b)上可导； 3.f(a)?f(b)；

则在(a,b)内至少存在一点?，使得

f'(?)?0.

定理2 （拉格朗日（Lagrange）中值定理） 若函数满足如下条件 1.f在闭区间[a,b]上连续； 2.f在开区间(a,b)上可导； 则在(a,b)上至少存在一点?，使得

f'(?)?

f(b)?f(a).

b?a'推论1 若函数f(x)在区间I上可导，且f(x)?0，x?I，则f为I上的一个常量函数.

推论2 若函数f(x)和g(x)均在区间I上可导，且f(x)?g(x)，x?I，则在区间I上f(x)与g(x)之相差某一常数c，即f(x)?g(x)?c.

推论3 （导数极限定理）设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内连续，在Uo(x0)内可导，且极限limf(x)存在，则

x?x0'''1．f(x)在点x0处可导； 2. f(x0)?limf(x)；

x?x0''

1.直接利用公式

例3 证明arctanb?arctana?b?a,其中a?b. 证明： 设f(x)?arctanx，则