第七章 习题答案

和(m?3)x?(n?9)y?(l?3)z?16?0表示同一平面；

（2）2x?my?3z?5?0与lx?6y?6z?2?0表示两个平行平面； （3）lx?y?3z?1?0与7x?2y?z?0表示两个互相垂直的平面． 解：（1） 依题意，有

l?3?m?1?n?3?8,

m?3n?9l?3?16所以有

?2l?6??m?3??2m?2?9?n, ?2n?6?3?l?解方程组得 l?（2） 依题意，有

71337,m?,n?; 9992m3??, l?6?6所以 l??4,m?3;

（3） 依题意，有

7l?2?3?0,

所以 l??.

9．求下列平面之间的夹角： （1）x?y?11?0,3x?8?0;

（2）2x?3y?6z?12?0,x?2y?2z?7?0.

171,1,0?,n2??3,0,0?,所以 解：（1）因为n1?? cos???n1?n232????,

n1?n222?3所以 ???3 或???，44所以两平面的夹角为

?3或?. 441,2,2?,所以 （2）因为n1??2,?3,6?,n2??cos???n1?n288????,

n1?n27?321所以 ??arccos88 或????arccos，212188或????arccos. 2121所以两平面的夹角为??arccos10．求点(2,1,1)到平面2x?2y?z?4?0的距离． 解：依题意，由点到平面的距离公式得

d?2?2?2?1?1?1?42?2?(?1)222?3.

习题7-6

1.求下列直线的方程： （1）通过点

A??3,0,1?和

B?2,?5,1?的直线方程；

x?1yz?1xy?1z?1????M?1,0,?2?1?1和1?10垂直的直线；（2）通过点且与两直线1

（3）通过点解：（1）由

M?2,?3,?5?且与平面6x?3y?5z?2?0垂直的直线.

x?3yz?1?? 2?3?50?x?3yz?1x?3yz?1????，即 5?501?50（2）直线的方向矢量为：?1,1,?1???1,?1,0????1,?1,?2?, 所以，直线方程为：

x?1yz?2?? 112（3）直线的方向矢量为：?6,?3,?5? 所以直线方程为：

x?2y?3z?5?? 6?3?52.求下列各点的坐标：

x?1y?8z?8??213上，且与原点相距25个单位的点； （1）在直线

?x?y?4z?12?0,?2x?y?2z?3?0与点P?2,0,?1?对称的点.

（2）关于直线?解：（1）设所求的点为M(x, y, z)，则：

?x?1?2t??y?8?t ?z?8?3t?又x?y?z?25即(1?2t)?(8?t)?(8?3t)?25解得t?4或-的点的坐标为：(9,12,20),(?2222222262所以要求71176130,?,?) 777(2)已知直线的方向矢量为：

?1,?1,?4???2,1,-2?=?6,-6,3?，或为?2,,-2,1?

∴过P垂直与已知直线的平面为：2(x?2)?2y?(z?1)?0.

即2x?2y?z?3?0,该平面与已知直线的交点为?1,1,3?,所以若令P′(x, y, z)为P 的对称点，则：1?2?x0?y?1?z?x?0,y?2,z?7,即P?(0,2,7). ,1?,3?222222sin??sin??sin??2. ?,?,?,3．一直线与三坐标轴间的角分别为证明

证明：依题意可知cos?,cos?,cos?为该直线的方向余弦，所以有

cos??cos??cos??1.

因为 sin??sin??sin??(1?cos?)?(1?cos?)?(1?cos?)

222222222?3?(cos2??cos2??cos2?)

?3?1?2.4.直线方程??A1x?B1y?C1z?D1?0,的系数满足什么条件时，有（1）直线与x轴相

?A2x?B2y?C2z?D2?0交；（2）直线与x轴平行；（3）直线与x轴重合.

解：（1）所给直线与x轴相交? ?0使

A1x0?D1?0且A2x0?D2?0?A1A2D1?0(A1,A2不全0) D2（2）∵x 轴与平面A1x?B1y?C1z?D1?0平行

?1?A1+0?B1+0?C1=0?A1=0

又 x 轴与平面A2x?B2y?C2z?D2?0平行，

?1?A1+0?B2+0?C2=0?A2=0

即 A1?A2?0，但直线不与x轴重合 ∴D1,D2不全为0。

（3）参照（2）有A1?A2?0，且D1?D2?0 5.求下列每对直线的夹角：

x?1?y?2z?5xy?3z?1（1）36?2??;与296

??3x?4y?2z?0,?4x?y?6z?2?0,（2）?2x?y?2z?0?与?y?3z?2?0.

解：（1） cos???3?2?6?9?2?67232?62?22?22?92?62??77; (3)因为直线??3x?4y?2z?02x?y?2z?0的方向为

?X?4?2?233?1:Y1:Z1?1?2:?22:421?10:2:11,

直线??4x?y?6z?2?0y?3z?2?0的方向为

? X1?62:Y2:Z2?1?3:?64?30:4101?3:12:4,

所以 cos???10?3?2?12?11?4102?22?112?32?122?42??98195. 6.求一直线过点P?2,1,0?x?5且与直线

3?y2?z?25?2垂直相交的直线. 解：设所求直线方程为

x?2X?y?1Y?zZ, 依题意，有

3X?2Y?2Z?0, 2?51?00?25 ??32?2?0, XYZ即 52X?69Y?9Z?0, 联立①，②得

X:Y:Z?2?2?2332?699:952:52?69 ?120:131:311,

①

②