例谈“放缩法”证明不等式的基本策略

本题观察数列的构成规律，采用通项放缩的技巧把一般数列转化成特殊数列，从而达到简化证题的目的。

求证 证明

1k2?1K(k?1)?1k?1?1k?n12)1?(n1?1?n)?1?(212?312?1?1?212?(12?n)111?1?212?(12?3)?(3?4)??47 说明：若本题从第二项起放大，则左边<1+1-1<2 ,这使的证明失败. n例 1 4

分析

设f(x)?ax2?bx?c,当x?1时，总有f(x)?1,求证：f(2)?7.当x?1时，总有f(x)?1,?f(0)?c?1,2b?f(1)?f(?1), ?2b?f(1)?f(?1)?f(1)?f(?1)?2,?b?1.2a?f(1)?f(?1)?2c, ?2a?f(1)?f(?1)?2c?4,?a?2.若f(2)?4a?2b?c?4a?2b?c?11,不符合要求.

注意到f(1)=a+b+c若f(2)?4a?2b?c?(a?b?c)?3a?b?f(1)?3a?b?8,也不符合要求.

又注意到f(-1)=a-b+c

若f(2)?4a?2b?c?(a?b?c)?（a?b?c)?2a?2b?c?a?b?c?a?b?c?2a?2b?c?1?1?4?1?7,符合要求.

浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧

放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。

所谓放缩的技巧：即欲证A?B，欲寻找一个（或多个）中间变量C，使A?C?B，由A到C叫做“放”，由B到C叫做“缩”。

常用的放缩技巧还有：（1）若t?0,A?t?A,A?t?A,（2）

2n?1?n,2n?n?n?1,n?1?1?n?1,n(n?1)?n?n(n?0),1111???2?nn?1n(n?1)n 111221??(n?1),2(n?1?n)????2(n?n?1).n(n?1)n?1nn?n?1n?nn（3）

111111aaaa?m1??????1?????.?,?.?2n?1a、b、m?R,2!3!n!222bb?mbb若则（4）（5）1111111111?2?2???2?1?(1?)?(?)???(?)?2?.223n?1nn23n（6）

111111n???????????1n?1n?22nn?1n?1n?1n?1111111n1??????????.n?1n?22n2n2n2n2n2111111n1????????????n23nnnnn等等。

用放缩法证明下列各题。 例1 求证：lg3?lg33?1. 证明：因为

或

（

7

）

ab?(lg3?lg332lg992a?b2),?()?(),[因为99＜100（放大）]＜222所以左边

(lg1002)?1,2所以lg3?lg33?1.

例2 （2000年海南理11）若n?N,n?2,求证：logn(n?1)?logn(n?1)?1. 证明：因为n?2,n?1?1,所以logn(n?1)?0,logn(n?1)?0,因为

logn(n?1)?logn(n?1)2[logn(n2?1)]2logn(n?1)?logn(n?1)?[]?2224［因为n?1?n（放大），

22所以logn(n?1)?lognn,又n?2,所以lognx是增函数］，所以

[logn(n2?1)]2(lognn2)2??144，所以logn(n?1)?logn(n?1)?1.

例3 （2001年云南理1）求证：logn(n?1)?logn?1(n?2)(n?1,n?N).

右边logn?1(n?2)??logn?1(n?2)?logn?1nlogn(n?1)证明：左边（因为logab?logba?1）

log(n?2)?logn?1n2?[n?1]2logn(n?2)2?[n?1]2

logn?1n(n?2)2logn?1(n?1)22[]?[]?1,2n(n?2)?(n?1)22［又因为（放大）］，所以所以

logn(n?1)?logn?1(n?2).

例4 已知a?b?0,求证：a?b?a?b.

证明：因为a?b?0?

?a?b,??????a?b?0,???a?b?a?b(放大),两边同乘a?b?????(a?b)2?a?b?a?b?a?b.

a?b2a2?b2()?.22例5 求证：

a?b2a2?2ab?b2a2?a2?b2?b2()??222ab?a?b244证明：因为（因为）（放大）a2?b2a?b2a2?b2?.()?.22所以2

4ac?b2;2y?ax?bx?ca?04a例6 （2000年湖南省会考）求证：当时，函数的最小值是4ac?b2.24a当a?0时，函数y?ax?bx?c的最大值是

?a?0,b??a(x?)2?0,b2?b24ac?b22a(x?)?0y?a(x?)?,?2a2a4a证明：因为原函数配方得又因为?b24ac?b24ac?b24ac?b2y?a(x?)??2a4a4a4a所以（缩小），所以函数y的最小值是。当

?a?0,b??a(x?)2?0,b2?b24ac?b24ac?b22a(x?)?0y?a(x?)???2a?2a4a4a所以（放大），所以函数y4ac?b2.4a的最大值是

例7 求证： 1?2(n?1?n)(n?N)n

122??n?nn?1?n（分母有理化）?2(n?1?n),所以原不等式成证明：因为n立。

例8 （2002年贵州省理21）若a?b?0,求证：n(a?b)bn?1?an?bn?n(a?b)an?1(n?N)

nnn?1n?2n?32n?1证明：因为a?b?(a?b)(a?ab?ab???b),而a?b?0,所以

an?bn(n?N),所以an?bn?(a?b)(an?1?an?2?an?3a2???an?1)?(a?b)nan?1,同理可证n(a?b)bn?1?an?bn（当且仅当a?b时，取等号）。

cab???2.例9 已知a、b、c分别是一个三角形的三边之长，求证：a?bb?cc?a 证明：不妨设a?b?c?0,据三角形三边关系定理有：b?c?a?0,便得bcabaca??????1??2,b?ca?bb?cc?ab?cb?ca?c所以原不等式成立。

1111??????1(n?N)2n例10 （1999年湖南省理16）求证：2n?1n?2

111111n1??????????,n?nn?nn?nn?nn?n2又证明：因为n?1n?2111111n???????????1,n?1n?2n?nnnnn所以原不等式成立。

例11 求证：

证明：因为左边11111111?1??????1?(1?)?(?)?(?)???(1?1)?2?1?2,1?22?3(n?1)n22334n?1nn证毕。

1?111?????2.1?21?2?31?2?3???n

1111??????1(n?N)n!例12 求证2!3!4!