例谈“放缩法”证明不等式的基本策略 - 图文

例谈“放缩法”证明不等式的基本策略

近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。

1、添加或舍弃一些正项（或负项）

例1、已知an?2n?1(n?N*).求证：

an1a1a2????...?n(n?N*). 23a2a3an?1证明：

ak2k?11111111?k?1??????.k,k?1,2,...,n, k?1kkak?12?122(2?1)23.2?2?2232

?aa1a2n1111n11n1??...?n??(?2?...?n)??(1?n)??, a2a3an?12322223223

an1aan???1?2?...?n?(n?N*). 23a2a3an?12若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。

由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了2?2，从而是使和式得到化简.

2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例2、函数f（x）=

4x1?4xk，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+

12n?11?(n?N*). 2证明：由f(n)=

4n1?4n=1-

11?1? 1?4n2?2n1?1?1???1?12?2n得f（1）+f（2）+…+f（n）>1?2?212?22111111?n?(1?????n?1)?n?n?1?(n?N*).

424222

此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。 3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）

k

例3、已知an=n ，求证：∑ 2 ＜3．

k=1ak

n

证明：∑

k=1n

n

k2ak=∑

k=1

n

1k3＜1＋∑

k=2

n

1

(k－1)k(k＋1)

=1??k?2n＜１＋∑

k=2

2

(k－1)(k＋1) (

k＋1 ＋k－1 )k?1?k?1 (k?1)(k?1)=1＋ ∑ (k=2

n

11

－ )

(k－1) (k＋1)

=1＋1＋

1122－－ ＜2＋＜3．

(n＋1) 22n本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.

4、放大或缩小“因式”；

n11例4、已知数列{an}满足an?1?a,0?a1?,求证：?(ak?ak?1)ak?2?.

232k?12n证明

n11120?a1?,an?1?an,?a2?a12?,a3?2416.?当k?1时,0?ak?2?a3?1, 16??(ak?ak?1)ak?2k?11n11??(ak?ak?1)?(a1?an?1)?. 16k?11632本题通过对因式ak?2放大，而得到一个容易求和的式子

5、逐项放大或缩小

?(ak?1nk?ak?1)，最终得出证明.

n(n?1)(n?1)2?an?例5、设an?1?2?2?3?3?4???n(n?1)求证： 22122n?12 证明：∵ n(n?1)?n?n n(n?1)?(n?)?

222n?1 ∴ n?n(n?1)?

21?3???(2n?1)n(n?1)(n?1)2?an? ∴ 1?2?3???n?an?， ∴

2222n?1本题利用n?n(n?1)?，对an中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，

2达到化简的目的。

6、固定一部分项，放缩另外的项；

例6、求证：

111???122232?17? n24证明：

1111 ???n2n(n?1)n?1n?1111?1??(??n22223?115117?)??(?)?. n?1n42n4?111???122232此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

7、利用基本不等式放缩

例7、已知an?5n?4，证明：不等式5amn?aman?1对任何正整数m，n都成立. 证明：要证5amn?aman?1，只要证 5amn?1?aman?2aman.

因为 amn?5mn?4，aman?(5m?4)(5n?4)?25mn?20(m?n)?16， 故只要证 5(5mn?4)?1?25mn?20(m?n)?16?2aman， 即只要证 20m?20n?37?2aman. 因为2aman?am?an?5m?5n?8?5m?5n?8?(15m?15n?29)?20m?20n?37， 所以命题得证.

本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由2aman?am?an放大即可.

8、先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩

例8、.已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n. (1)证明：nAim＜mAin；(2)证明：(1+m)＞(1+n)

iinm证明：(1)对于1＜i≤m，且Aim =m·…·(m－i+1)，

Aimmm?1Aimnn?1m?i?1n?i?1?????,同理?????， mmmnnnmini由于m＜n，对于整数k=1，2，…，i－1，有

n?km?k， ?nmAinAim所以i?i,即miAin?niAim

nm

(2)由二项式定理有：

22nn

(1+m)n=1+C1nm+Cnm+…+Cnm， 22mm(1+n)m=1+C1mn+Cmn+…+Cmn，

由(1)知

mAini

＞nAimi

(1＜i≤m＜n )，而

CimAimiAin,Cn?= i!i!∴miCin＞niCim(1＜m＜n)

00222211∴m0C0n=nCn=1，mCn=nCm=m·n，mCn＞nCm，…， mmm+1m?1mmCmCn＞0，…，mnCnn＞nCm，mn＞0， 2222nn1mm∴1+C1nm+Cnm+…+Cnm＞1+Cmn+Cmn+…+Cmn，

即(1+m)n＞(1+n)m成立.

以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。希望大家能够进一步的了解放缩法的作用，掌握基本的放缩方法和放缩调整手段.

111?11?2!?3!?1?n!?3 求证

证明

1k!?111111?2??2?13!12k?1,(k?2)??1n!12n?1?1?

??12!12????12n?1?1??1?1221?12n1?12?3??3

本题观察数列的构成规律，采用通项放缩的技巧把一般数列转化成特殊数列，从而达到简化证题的目的。

求证 证明

1k2?1K(k?1)?1k?1?1k?n12)1?(n1?1?n)?1?(212?312?1?1?212?(12?n)111?1?212?(12?3)?(3?4)??47 说明：若本题从第二项起放大，则左边<1+1-1<2 ,这使的证明失败. n例 1 4

分析

设f(x)?ax2?bx?c,当x?1时，总有f(x)?1,求证：f(2)?7.当x?1时，总有f(x)?1,?f(0)?c?1,2b?f(1)?f(?1), ?2b?f(1)?f(?1)?f(1)?f(?1)?2,?b?1.2a?f(1)?f(?1)?2c, ?2a?f(1)?f(?1)?2c?4,?a?2.若f(2)?4a?2b?c?4a?2b?c?11,不符合要求.

注意到f(1)=a+b+c若f(2)?4a?2b?c?(a?b?c)?3a?b?f(1)?3a?b?8,也不符合要求.

又注意到f(-1)=a-b+c

若f(2)?4a?2b?c?(a?b?c)?（a?b?c)?2a?2b?c?a?b?c?a?b?c?2a?2b?c?1?1?4?1?7,符合要求.