高中数学圆锥曲线与方程教案

3．已知圆锥曲线的方程为mx+ny=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦点坐标． 四、课后反思：

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2.3.2 双曲线的几何性质（新授课）

一、教学目标

知识与技能：理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能根据这些几何性质解决一些简单问题，从而培养我们的分析、归纳和推理等能力。

过程与方法：在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，进一步体会数形结合的思想，掌握利用方程研究曲线性质的基本方法。

情感、态度与价值观：通过本小节的学习，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题．

二、教学重点与难点

重点：双曲线的几何性质及初步运用． 难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证． 三、教学过程

(一)复习提问引入新课

1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？ 2．双曲线的两种标准方程是什么？

下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质． (二)类比联想得出性质(性质1～3)

引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答，教师引导、启发、订正并板书)．

(三)问题之中导出渐近线(性质4)

在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计

仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形(板书图形)，那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图2-26)有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想．

接着再提出问题：当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？

下面，我们来证明它：

双曲线在第一象限的部分可写成：

当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．

在其他象限内也可以证明类似的情况．

现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字母对调

这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精

再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线． (四)离心率(性质5)

由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：

变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．

这时，教师指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．

(五)典型例题剖析：

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1．求双曲线9y-16x=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3．

焦点坐标是(0，-5)，(0，5)．

本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结． 解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合：

化简得：(c2

-a2

)x2

-a2y2

=a2

(c2

-a2

)．

这就是双曲线的标准方程．

由此例不难归纳出双曲线的第二定义．