高中数学圆锥曲线与方程教案

关于x的二次方程ax?bx?c?0 （*）

2若??0，相交；??0，相切；??0，相离 综上，得：

联立??y?kx?b2，得关于x的方程ax?bx?c?0 2?y?2px当a?0（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点） 当a?0，则

若??0，两个公共点（交点） ??0，一个公共点（切点） ??0，无公共点 （相离） （2）相交弦长：

弦长公式：d??1?k2， a（3）焦点弦公式：

抛物线y?2px(p?0)， AB?p?(x1?x2) 2抛物线y??2px(p?0)， AB?p?(x1?x2) 2抛物线x?2py(p?0)， AB?p?(y1?y2) 2抛物线x??2py(p?0)，AB?p?(y1?y2) 2（4）通径：

定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：d?2p （5）若已知过焦点的直线倾斜角?

2pp??2py?y??y?k(x?)?22则?y?p2?0??1k 2?y?k22???y?2px?y1y2??p12p4p22p2 ?AB?y?y??y1?y2??4p?1222sin?sin?sin?k（6）常用结论：

p?k2p22p?y?k(x?)22222?0 y?p?0和kx?(kp?2p)x??2?y?4k2??y?2px?y1y2??p2和x1x2?（二）、讲解范例：

p 4例1 根据下列条件，写出椭圆方程 ⑴ 中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8；

22

⑵ 和椭圆9x+4y=36有相同的焦点，且经过点(2，－3)；

⑶ 中心在原点，焦点在x轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近

顶点的距离是10－5 分析： 求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据a=b+c及已

22

知条件确定a、b的值进而写出标准方程 解 ⑴ 焦点位置可在x轴上，也可在y轴上，

222

xy2y2x2??1或??1 因此有两解：

16121612x2y2 ⑵ 焦点位置确定，且为（0，?5），设原方程为2?2?1,(a>b>0)，由已知条件

ab?a2?b2?5y2x?22??1 有?9 ?a?15,b?10,故方程为41510?2?2?1b?a

x2y2⑶ 设椭圆方程为2?2?1,(a>b>0)

ab?b?c222

由题设条件有? 及a=b+c，解得b=5,a?10,

?a?c?10?5xy2??1 故所求椭圆的方程是105x2y2例2 从椭圆2?2?1,(a>b>0)上一点M向x轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1，A、

abB分别是椭圆长、短轴的端点，AB∥OM设Q是椭圆上任意一点，当QF2⊥AB时，延长QF2与

椭圆交于另一点P，若⊿F2PQ的面积为203，求此时椭圆的方程 解 可用待定系数法求解 x2y2∵b=c,a=2c，可设椭圆方程为2?2?1 2cc∵PQ⊥AB,∴kPQ=-

1kAB?2

a?2，则PQ的方程为y=2(x-c)， b2

代入椭圆方程整理得5x-8cx+2c=0， 根据弦长公式，得PQ＝62c, 5又点F1到PQ的距离d=

26c 3∴S?F1PQ?4324321c ,由c?203，得c2?25, PQd?552x2y2??1 故所求椭圆方程为

5025x2??y2?1，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦例3 已知椭圆：96AB的长 解：a=3,b=1,c=22; 则F（-22，0）

x2(x?22)与?y2?1联立消去y得： 由题意知：l:y?9314x2?122x?15?0

设A（x1,y1)、B（x2,y2)，则x1,x2是上面方程的二实根，由违达定理，x1?x2??32

x1?x2?x?x23215??，xM?1又因为A、B、F都是直线l上的点， 224所以|AB|=1??|x1?x2|?1323?(x1?x2)2?4x1x2?2318?15?2

点评：也可让学生利用“焦半径”公式计算 例4 中心在原点，一个焦点为F1（0，50）的椭圆截直线y?3x?2所得弦的中点横坐标为

1，求椭圆的方程 2分析：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐

22标公式，求出中点的横坐标，再由F1（0，50）知，c=50，?a?b?50，最后解

关于a、b的方程组即可 x2y2解：设椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0)，

ab22由F1（0，50）得 a?b?50

把直线方程y?3x?2代入椭圆方程整理得：

(a2?9b2)x2?12b2x?b2(4?a2)?0

设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2)，则由根与系数的关系得：

12b2x1?x2?2， 2a?9bx1?x26b211?2?又AB的中点横坐标为，? 2a?9b222?a2?3b2，与方程a2?b2?50联立可解出a2?75,b2?25 x2y2??1 故所求椭圆的方程为：

7525例5 直线y?kx?1与双曲线3x?y?1相交于A、B两点，当a为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？ 解： 把y?kx?1代入3x?y?1 整理得：(3?a)x?2ax?2?0……（1）

2当a??3时，??24?4a 222222由?>0得?6?a?6且a??3时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点 若A、B在双曲线的同一支，须x1x2?2>0 ，所以a??3或a?3 a2?3故当?6?a??3或3?a6时，A、B两点在同一支上；当?3?a3时，A、B两点在双曲线的两支上 例6 已知双曲线的中心在原点，过右焦点F（2，0）作斜率为N 两点，且MN=4，求双曲线方程 3的直线，交双曲线于M、5x2y222

解：设所求双曲线方程为2?2?1(a?0,b?0)，由右焦点为（2，0）知C=2，b=4-a

ab3x2y2y?(x?2)，代入双曲线方程?1则双曲线方程为2?，设直线MN的方程为：25a4?b整理得：(20-8a)x+12ax+5a-32a=0

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