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高三数学一轮复习学案 （52）参考答案 班级： 姓名 ： 直线与圆锥曲线的位置关系（一）参考答案 典型例题 例1 、（1）过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2?4x仅有一个公共点，这样的直线有 （ C ） A 1条 B 2条 C 3条 D 4条 x2已知双曲线12?y2(2)4?1，过其右焦点作直线l与双曲线的右支有且仅有一个交点，则此直线斜率的取值范围是 （ C ） A（?33,33)B(?3,3) C[?333,3] D[?3,3] x2例2：已知椭圆G:4?y2?1，过点(m,0)作圆x2?y2?1的切线l交椭圆 G于A,B两点 （1） 求椭圆G的焦点坐标和离心率； （2） 将AB表示为m的函数，并求AB的最大值。 解：（1）由已知得a?2,b?1?c?a2?b2?3， 椭圆的焦点坐标为(?3,0),(3,0),离心率e?ca?32 （4分） (2)由题意m?1，m?1时，切线l的方程为x?1,点A,B的坐标为(1,32),(1,?32),AB?3。同理m??1时,AB?3 当m?1，设切线l的方程为y?k(x?m)，A(x1,y1),B(x2,y2) ?由?y?k(x?m)?x2得(1?4k2)x2?8k2mx?4k2m2?4?0 ?2?4?y?1x8k2m4k2m2?41?x2?1?4k2,x1x2?1?4k2，??0 得4k2?1?k2m2 由于直线l与圆x2?y2?1相切，得km，1?m2?1k2?1?k2m2 ?AB?(x21?x2)?(y1?y2)2?2228k2(1?k)[(x4xm24k2m2?443m1?x2)?1x2]?(1?k)[(1?4k2?41?4k2)]?m2?3 ?m?1?AB?43?43?2，当且仅当m?1，即m??3时m?323mm取等号，由以上得ABmax?2 例3、在平面直角坐标系xoy中,过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线与抛物线y?x2相交与A,B两点,一条垂直于x轴的直线,分别与线段AB和直线
高三数学一轮复习学案 （52）参考答案 班级： 姓名 ： l:y??c交于P,Q. (1)若???OA?????OB??2，求c的值; (2)若P为线段AB的中点，求证QA是抛物线的切线. 解：设A(x(x?kx?c(c?0)，??y?kx?c1,y1),B2,y2)，AB的方程y2?y得?xx2?kx?c?0,??0,x1x2??c,x1?x2?ky1y2?(kx1?c)(kx2?c)?k2x1x2?k(x1?x2)?c2??k2c?k2c?c2?c2 ????OA?????OB??2,x1x2?y1y2?2即c2?c?2,解得c??1(?c?0,舍去),c?2 （2）?P(x1?x22,y1?y22),Q(x1?x22,?c) 2k?y1?cx1?x1x2AQxx?x?x?2x1?y'?2x, 121?x21?22以A为切点的切线的斜率k?2x1所以AQ为抛物线的切线。 巩固练习： 5、中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为32，与直线x+y-1=0相交于M,N两点，若以M,N为直径的圆过原点，求椭圆的方程 22解?e?32?a2?4b2，设椭圆的方程为xy4b2?b2?1 设M(x1,y1),N(x2,y2)，因为以MN为直径的圆过原点， 所以OM?ON,即????OA?????OB??y?-x?1?0,xx?12?y1y2?0由??x2y2?4b2?b2?1 得5x2?8x?4?4b2?0,??0x84?4b21?x2?5,xx1?25 y4?4b281?4b21y2?(1?x1)(1?x2)?x1x2?(x1?x2)?1?5?5?1?5 1?4b24?4b2x25?5?0，解得b2?58故所求的椭圆的方程为y25?5?1 28C与 椭圆x28?y26、双曲线4?1有相同的焦点，直线y?3x为C的一条渐近线。 （1） 求双曲线C的方程； （2） 过点P(0,4)的直线l交双曲线C与A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当???PQ?????????????81QA??2QB，且?1??23时，求Q的坐标。 解：(1)x22?y?1的焦点为(?2,0),(2,?0c),?，设双曲线的方程为84?x2y2c?2,c2?a2?b2?a2?b2?1(a?0,b?0)由题?得a2?1,b2?3故C:x?y22?1 ?b?a?33
高三数学一轮复习学案 （52）参考答案 班级： 姓名 ： (2) 由题意知直线的 斜率存在且不为零，设直线为x?m(y?4) A(x，由 ???PQ???????????1,y1),B(x2,y2)Q(x0,0)1QA??2QB得 ?4??41y1, ?4??2y2??1??2??(4(yy?4)??1?y2)??8 1y2y1y23?y1?y22??x?m(y?4)222y?①由?2y2y得(3m?1)y?24my?48m2?3?0 123??x?3?1当3m2?1?0,m??33时，不符题意;当3m2?1?0,m??33时??0② yy24m248m2?311?2?3m2?1,y1y2?3m2?1代入①得m??2 此时代入②成立，所以直线的方程为x??12(y?4)令y?0得Q(?2,0),(2,0) 7、（选做）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于12，它的一个顶点恰好是抛物线x2?83y的焦点。 （1）求椭圆C的方程； （2）P(2,3),Q(2,?3)是椭圆C上的两点，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点，（1）若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值；（2）当A、B运动时，满足?APQ??BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，说明理由。 设椭圆的方程为x2y2解：2a2?b2?1(a?b?0)?x?83y的焦点为(0,23)，?1a2?b2a2?121x2?e2y22?a2?a2?4?a?16椭圆的方程为16?12?1 (2)设AB的方程为y?12x?t，A(x1,y1),B(x2,y2) ?由?1?y??2x?tx2?tx?t2?12?0, ?x22 得??16?y12?1??t2?4(t2?12)?0得t?(?4,4)x1?x2??t,x1x2?t2?12 x21?x2?(x1?x2)?4x1x2?48?3t2 四边形APBQ的面积S?1PQx?x112?2?6?48?3t2?348?3t22，?t?0,Smax?348?123 （3）??APQ??BPQ,?kPA?kPB?0，设kPA?k,kPB??k ?y?3?k(x? 则PA:y?3?k(x?2) 由?2)??x2y2 ?16?得 12?1高三数学一轮复习学案 （52）参考答案 班级： 姓名 ：
(3?4k2)x2?8(3?2k)kx?4(3?2k)2?48?0
x1?2?8(2k?3)k8(?2k?3)(?k) ,同理x?2?23?4k23?4k216k2?12?48k x1?x2?,x?x?123?4k23?4k2kAB?y1?y2k(x1?x2)?4k1??
x1?x2x1?x22所以直线AB的斜率为定值
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