二阶常系数非齐次线性微分方程的复数解法(2009.10.22)

二阶常系数非齐次线性微分方程的复数解法

王 捷

（烟台南山学院 山东烟台 265713）

摘要： 在二阶常系数非齐次线性微分方程中，非齐次项的形式为

f1(x)?e?xPm(x)cos?x或

f2(x)?e?xPm(x)sin?x的情况占大多数，对于这类微分方程，使用复数法求特解，可使计算量减

少将近一半.

关键词：微分方程；非齐次项；特解；复数法. 中图分类号： 01—0 文献标识码：B

The use of complex number methods for Second-order constant coefficient

Non-homogeneous linear differential equation

Wangjie

(Yantai nanshan University, Yantai,Shandong, 265713)

Abstract：In the second-order constant coefficient non-homogeneous linear differential equation, it accounts for the majority shen non-homogeneous terms are

f1(x)?e?xPm(x)cos?xand

f2(x)?e?xPm(x)sin?x. For this type of differential equations, if methods of complex number are

using special solution, the calculation of the amount reduced by nearly half.

Keywords：differential eguation；Of non-homogeneous；particular solution；methods of complex number.

在高等数学（同济五版）微分方程一章中，

f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?0?sin?x] 对于非齐次项为

或

f(x)?e?x[P(x)cos?x?P(x)sin?x]lnf(x)?e?x[0?cos?x?Pn(x)sin?x] 的二阶常系数非齐次线性微分方程，特解y的求法非常繁琐，即便遇到P或l(x)?0*的情况进行求解.即特解的形式都须设为

(1)(2)y*?xke?x[Rm(x)cos?x?Rm?sin?x]

Pn(x)?0，即

f(x)?e?xPl(x)cos?x

或

的形式，k按??i?不是特征方程的根或是特征方程的根分别取0和1.然而，在二阶常系数非齐次线性微分方程中，非齐次项形如

f1(x)?e?xPm(x)cos?x

或

f(x)?e?xPn(x)sin?x

的情况，也得将其视为

f2(x)?e?xPm(x)sin?x

作者简介：王捷，（1952—），男，汉族，山西大同人，烟台南山学院理学院，副教授

1

的情况占大多数.事实上，对于这类微分方程，我们可以用复数法进行求解.下面来介绍这种方法.

设二阶常系数非齐次线性微分方程的非齐次项为

F(x)?P?xm(x)e[cos?x?isin?x]

则

f?x1(x)?ePm(x)cos?x

可看成F(x)的实部，

f2(x)?e?xPm(x)sin?x

可看成F(x)的虚部。再设非齐次项为 f1(x)和

fy*2(x)的微分方程的特解分别为1和y*2，则以F(x)为非齐次项的微分方程的特解可表示为

y*?y*iy*1?2 由欧拉公式

ei?x?cos?x?isin?x

F(x)?P?xm(x)e[cos?x?isin?x]可变形为

F(x)?P(??i?)xm(x)e 于是二阶常系数非齐次线性微分方程

y???py??qy?P??i?)xm(x)e(

的特解就可设为

xkQ??i?)xm(x)e(

的形式，其中，k按??i?不是特征方程的根或是特征方程的根分别取0和1.代入微分方程

后，所求的特解一定为y*?y**1?iy2这种形式.对于非齐次项为fy*1(x)的微分方程，特解取1，对于非齐次项为fx)的微分方程，特解取y*2(2，

下面通过例子来说明这种方法的应用.

例1 求微分方程y???y?xcos2x的一个特解.（高等数学同济五版第315页例3）

解 将非齐次项看成

xe2ix?x(cos2x?isin2x)

的实部，0?2i不是特征方程的根，故特解设为

y*?(ax?b)e2ix

将其代入所给的方程，消去e2ix，得

4ia?3b?3ax?x

比较两端系数，得

???3a?1?4ia?3b?0 解得

a??13,b??49i 代入所设特解，得

y*?(?13x?49i)(cos2x?isin2x)

去掉虚部，留下实部，求得一个特解为

y*??13xcos2x?49sin2x

例2 求y???2y??5y?exsin2x的通解.

（高等数学同济五版第317页习题12-9，1-(5)）

解 将非齐次项看成

e(1?2i)x?ex(cos2x?isin2x)

的虚部，所给方程的特征方程为

r2?2r?5?0

齐次方程的通解为

Y?ex(C1cos2x?C2sin2x)

非齐次项中??i??1?2i是特征方程的单根，

故可设

y*?axe(1?2i)x

代入原方程并消去e(1?2i)x，得 4ia?1，解得

2

ia??.于是原方程的一个特解为

4iiy*??xe(1?2i)x??xex(cos2x?isin2x)

44当非齐次项为

成两项后，应用叠加原理使用复数法求解，但起

不到简化计算量的作用.

参考文献：

[1] 同济大学应用数学系编. 高等数学(第五版)， 高等教育出版社, 2001年10月.

[2]侯风波，高等数学第二版，高等教育出版社，2003年春

?xf(x)?e[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]

且Pl(x)和Pn(x)均不为0时，可将非齐次项拆 .

3