2016-2017学年浙江省绍兴一中高三（上）期末数学试卷及答案

∴A=；

，A=

及正弦定理，得

，其中

，

，

，得

．

，

，

（2）由a=得b=2sinB，所以周长由于从而周长

19．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示． （Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；

（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．

【考点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．

【分析】（Ⅰ）要证BC⊥平面ACD，只需证明BC垂直平面ACD内的两条相交直线AC、OD即可；

（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的数量积，求二面角A﹣CD﹣M的余弦值． 【解答】解：（Ⅰ）在图1中，可得

，从而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC

取AC中点O连接DO，则DO⊥AC，又面ADC⊥面ABC， 面ADC∩面ABC=AC，DO?面ACD，从而OD⊥平面ABC， ∴OD⊥BC

又AC⊥BC，AC∩OD=O，

∴BC⊥平面ACD 另解：在图1中，可得从而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC

∵面ADC⊥面ABC，面ADE∩面ABC=AC，BC?面ABC，从而BC⊥平面ACD （Ⅱ）建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示， 则

，

， ，

，

设则

即

为面CDM的法向量，

，解得

令x=﹣1，可得又∴

为面ACD的一个法向量

∴二面角A﹣CD﹣M的余弦值为．

20．已知f（x）=2xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3． （1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围． 【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（2）问题等价于a≥（2ln x+x+）min，记h（x）=2ln x+x+，x∈（0，+∞），根据函数的单调性判断即可．

【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2（ln x+1）， 令f′（x）=0，得x=，当x∈时，f′（x）＜0，当x∈时，f′（x）＞0， 所以f（x）在

上单调递增．

（2）存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立， 即2xln x≤﹣x2+ax﹣3在x∈（0，+∞）能成立， 等价于a≥2ln x+x+在x∈（0，+∞）能成立， 等价于a≥（2ln x+x+）min．

记h（x）=2ln x+x+，x∈（0，+∞）， 则h′（x）=+1﹣

=

=

．

上单调递减；在

当x∈（0，1）时，h′（x）＜0， 当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，

所以当x=1时，h（x）取最小值为4，故a≥4．

21．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的左、

右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设

=λ

．

（1）若点P的坐标为（1，），且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程； （2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈[，围．

]，求实数λ的取值范

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（1）由F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，利用椭圆的定义可得△PQF2的周长为4a．由点P的坐标为（1，），可得即可得出．

（2）利用向量坐标运算性质、点与椭圆的位置关系即可得出．

【解答】解：（1）∵F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点， ∴PF1+PF2=QF1+QF2=2a，从而△PQF2的周长为4a． 由题意，得4a=8，解得a=2． ∵点P的坐标为（1，），∴解得b2=3． ∴椭圆C的方程为

+

=1．

+

=1，

+

=1，解出

（2）∵PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P（c，y0），y0＞0．设Q（x1，y1）． ∵P在椭圆上，∴∵F1（﹣c，0），∴由

=λ

+

=1，解得y0==（﹣2c，﹣

，即P（c，），=λy1，

c，﹣=1，

）． ）．

=（x1+c，y1）．

，得﹣2c=λ（x1+c），﹣c，y1=﹣

，∴Q（﹣）2e2+

解得x1=﹣

∵点Q在椭圆上，∴（

即（λ+2）2e2+（1﹣e2）=λ2，（λ2+4λ+3）e2=λ2﹣1， ∵λ+1≠0，∴（λ+3）e2=λ﹣1，从而λ=∵e∈[，

=

﹣3．

]，∴≤e2≤，即≤λ≤5．

∴λ的取值范围为[，5]．

22．已知数列{an}满足：an2﹣an﹣an+1+1=0，a1=2 （1）求a2，a3；

（2）证明数列为递增数列； （3）求证：

＜1．

【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）a1=2，

（2）作差即可证明：an+1﹣an＞0． （3）

用“裂项求和”方法即可得出． 【解答】（1）解：∵a1=2，（2）证明：∴an+1＞an． （

3

）

证

明

，分别令n=1，2，即可得出a2，a3．

，利

，∴a2=22﹣2+1=3，同理可得：a3=7．

，对n∈N*恒成立，

：

故

．

=