高三数学 高考大题专项训练 全套 (15个专项)(典型例题)(含答案)

?bn?

数列?a?单调递减．

?n?

(1)解 因为d＝2，c2＝3，所以cn＝2n－1. 因为数列{an}是各项不为零的常数列， 所以a1＝a2＝…＝an，Sn＝na1.

则由cnSn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn及cn＝2n－1，得 n(2n－1)＝b1＋b2＋…＋bn，

当n≥2时，(n－1)(2n－3)＝b1＋b2＋…＋bn－1， 两式相减得bn＝4n－3.

当n＝1时，b1＝1也满足bn＝4n－3. 故bn＝4n－3(n∈N*)．

(2)证明 因为a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝cnSn， 当n≥2时，cn－1Sn－1＝a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1， 两式相减得cnSn－cn－1Sn－1＝anbn， 即(Sn－1＋an)cn－Sn－1cn－1＝anbn， Sn－1(cn－cn－1)＋ancn＝anbn， 所以Sn－1d＋λncn＝λnbn.

λ＋λ?n－1?λn?n－1?

又Sn－1＝(n－1)＝，

22λn?n－1?

所以d＋λncn＝λnbn，

2即

?n－1?

d＋cn＝bn，(*) 2

?n－2?

所以当n≥3时，d＋cn－1＝bn－1，

23

两式相减得bn－bn－1＝d(n≥3)，

2

3

所以数列{bn}从第二项起是公差为d的等差数列．

2又当n＝1时，由c1S1＝a1b1，得c1＝b1. 当n＝2时，由(*)得

?2－1?13b2＝d＋c2＝d＋(c1＋d)＝b1＋d，

2223得b2－b1＝d.

2

3

故数列{bn}是公差为d的等差数列．

2

(3)证明 由(2)得当n≥2时，Sn－1(cn－cn－1)＋ancn＝anbn，即Sn－1d＝an(bn－cn)．

因为bn＝cn＋k，所以bn＝cn＋kd， 即bn－cn＝kd， 所以Sn－1d＝an·kd， 即Sn－1＝kan，

所以Sn＝Sn－1＋an＝(k＋1)an. 当n≥3时，Sn－1＝(k＋1)an－1， 两式相减得an＝(k＋1)an－(k＋1)an－1， k＋1即an＝a，

kn－1

故从第二项起数列{an}是等比数列， 所以当n≥2时，an＝a2?

k＋1?n－2?k?，

bn＝cn＋k＝cn＋kd＝c1＋(n－1)k＋k2＝k＋(n－1)k＋k2＝k(n＋k)， 另外由已知条件得(a1＋a2)c2＝a1b1＋a2b2. 又c2＝2k，b1＝k，b2＝k(2＋k)， 所以a2＝1，因而an＝?

k＋1?n－2?k?.

dn＋1bn＋1an?n＋k＋1?kbn令dn＝，则＝＝. andnan＋1bn?n＋k??k＋1?因为(n＋k＋1)k－(n＋k)(k＋1)＝－n<0， dn＋1

所以<1，

dn

?bn?

所以对任意的n≥2，n∈N*，数列?a?单调递减．

?n?

2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，a2＝2，设bn＝an＋an＋1，cn＝an·an＋1(n∈N*)． (1)若数列{b2n－1}是公比为3的等比数列，求S2n； (2)若数列{bn}是公差为3的等差数列，求Sn；

(3)是否存在这样的数列{an}，使得{bn}成等差数列和{cn}成等比数列同时成立，若存在，求出{an}的通项公式；若不存在，请说明理由． 解 (1)b1＝a1＋a2＝1＋2＝3，

3?1－3n?3n1－3S2n＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2n－1＋a2n)＝b1＋b3＋…＋b2n－1＝＝. 21－3

＋

(2)∵bn＋1－bn＝an＋2－an＝3，

∴{a2k－1}，{a2k}均是公差为3的等差数列，

a2k－1＝a1＋(k－1)·3＝3k－2，a2k＝a2＋(k－1)·3＝3k－1，

当n＝2k(k∈N*)时，Sn＝S2k＝(a1＋a3＋…＋a2k－1)＋(a2＋a4＋…＋a2k)＝

k?1＋3k－2?

＋2

2

k?2＋3k－1?23n＝3k＝；

24

n＋13n＋1n＋1?2

当n＝2k－1(k∈N)时，Sn＝S2k－1＝S2k－a2k＝3k－3k＋1＝3×?－3·＋1＝.

24?2?*

2

2

?

综上可知，S＝?3n＋1

?4，n＝2k－1，k∈N.

n

2

*

3n2

，n＝2k，k∈N*，4

(3)∵{bn}成等差数列，∴2b2＝b1＋b3，

即2(a2＋a3)＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)，a2＋a3＝a1＋a4，① ∵{cn}成等比数列，∴c22＝c1c3. 即(a2a3)2＝(a1a2)·(a3a4)， ∵c2＝a2a3≠0，∴a2a3＝a1a4，②

由①②及a1＝1，a2＝2，得a3＝1，a4＝2，

设{bn}的公差为d，则bn＋1－bn＝(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝d，即an＋2－an＝d，即数列{an}的奇数项和偶数项都构成公差为d的等差数列， 又d＝a3－a1＝a4－a2＝0， ∴数列{an}＝1,2,1,2,1,2，…，

*

??1，n＝2k－1，k∈N，

即an＝? *

?2，n＝2k，k∈N.?

此时cn＝2，{cn}是公比为1的等比数列，满足题意．

?1，n＝2k－1，k∈N*，?

∴存在数列{an}，an＝? 使得{bn}成等差数列和{cn}成等比数列同时*

?2，n＝2k，k∈N，?

成立．

高考附加题加分练 1.矩阵与变换

1．已知矩阵M＝?逆矩阵M1.

－

?a ?b

1?0?

?，点A(1,0)在矩阵M对应的变换作用下变为A′(1,2)，求矩阵M的

解 ∵?

?a ?b 1??1??1?? ??＝??， 0??0??2?

∴a＝1，b＝2.

?1 ∴M＝?

?2

1?0?

?，∴M

－1

??＝?.

1??1 －2?0

1?0?

12

1?1 0?

2．(2017·江苏徐州一中检测)已知曲线C：y2＝x，在矩阵M＝??对应的变换作用下得2?0 －2?0 ?到曲线C1，C1在矩阵N＝?

?1 解 设A＝NM，则A＝?

?对应的变换作用下得到曲线C2，求曲线C2的方程．

?0 ?1 1??1 0??0 －2?? ??＝??， 0??0 －2??1 0?

设P(x′，y′)是曲线C上任一点，在两次变换下，在曲线C2上对应的点为P(x，y)， x??0 －2??x′??－2y′??则??＝?? ??＝??， ?y??1 0??y′?? x′?

????x＝－2y′，

即?∴?1?y′＝－x.?y＝x′，?

x′＝y，

?2

1

又点P(x′，y′)在曲线C：y2＝x上，

211

－x?2＝y，即x2＝2y. ∴??2?23．已知矩阵M＝?

?1

?2

2?x?

求M的另一个特征值及其对应的一个特征向量． ?的一个特征值为3，

解 矩阵M的特征多项式为

?λ－1 －2?

f(λ)＝??＝(λ－1)(λ－x)－4.

?－2 λ－x?

因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一根，所以x＝1. 由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1.

?x?设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝??， ?y?

??－2x－2y＝0，则?得x＝－y. ?－2x－2y＝0，?

令x＝1，则y＝－1，所以矩阵M的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝?

? 1?

?. ?－1?

?cos α －sin α?

4．(2017·江苏江阴中学质检)若点A(2,2)在矩阵M＝??对应变换的作用下得到的

?sin α cos α?