高三数学 高考大题专项训练 全套 (15个专项)(典型例题)(含答案)

因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD?平面PAB，所以PD⊥平面ABC， 因为BC?平面ABC，所以PD⊥BC，

又PB⊥BC，PD∩PB＝P，PD?平面PAB，PB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB， 又PA?平面PAB，所以BC⊥PA.

(三)数 列(1)

1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋an＝4，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)已知cn＝2n＋3(n∈N*)，记dn＝cn＋logCan(C>0且C≠1)，是否存在这样的常数C，使得数列{dn}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．

1?nn＋2(3)若数列{bn}，对于任意的正整数n，均有b1an＋b2an－1＋b3an－2＋…＋bna1＝??2?－2成立，求证：数列{bn}是等差数列． (1)解 a1＝4－a1，所以a1＝2，

由Sn＋an＝4，得当n≥2时，Sn－1＋an－1＝4， an1两式相减，得2an＝an－1，所以＝，

an－121

数列{an}是以2为首项，公比为的等比数列，

2所以an＝22n(n∈N*)．

－

(2)解 由于数列{dn}是常数列， dn＝cn＋logCan＝2n＋3＋(2－n)logC2 ＝2n＋3＋2logC2－nlogC2

＝(2－logC2)n＋3＋2logC2为常数， 则2－logC2＝0， 解得C＝2，此时dn＝7.

(3)证明 b1an＋b2an－1＋b3an－2＋…＋bna1 1?nn＋2＝??2?－2，①

13

当n＝1时，b1a1＝－＝－1，

22

1

其中a1＝2，所以b1＝－.

2

1?n－1n＋1

当n≥2时，b1an－1＋b2an－2＋b3an－3＋…＋bn－1a1＝??2?－2，② 1

②式两边同时乘以，得

2

1?nn＋1

b1an＋b2an－1＋b3an－2＋…＋bn－1a2＝??2?－4，③ －n－3由①－③，得bna1＝，

4n3

所以bn＝－－(n∈N*，n≥2)，

881

且bn＋1－bn＝－，

8113

又b1＝－＝－－，

288

11

所以数列{bn}是以－为首项，公差为－的等差数列．

28

112

2．在数列{an}中，已知a1＝，an＋1＝an－n＋1，n∈N*，设Sn为{an}的前n项和．

333(1)求证：数列{3nan}是等差数列； (2)求Sn；

(3)是否存在正整数p，q，r(p

12

(1)证明 因为an＋1＝an－n＋1，

33所以3n1an＋1－3nan＝－2.

＋

1

又因为a1＝，所以31·a1＝1，

3

所以{3nan}是首项为1，公差为－2的等差数列． (2)解 由(1)知3nan＝1＋(n－1)·(－2)＝3－2n， 1?n所以an＝(3－2n)??3?，

?1?1＋(－1)·?1?2＋(－3)·?1?3＋…＋(3－2n)·?1?n， 所以Sn＝1·?3??3??3??3?

1?1?2＋(－1)·?1?3＋…＋(5－2n)·?1?n＋(3－2n)·?1?n＋1， 所以Sn＝1·?3??3??3??3?3两式相减，得

21?1?2＋?1?3＋…＋?1?n?－(3－2n)·?1?n＋1Sn＝－2???3??3??3???3?33

?1－??3???11?1?＝－2?9×＋(2n－3)·1??3?3

1－?3?

n－1

1

n＋1

?1?n＋1， ＝2n·?3?n

所以Sn＝n. 3

2q

(3)解 假设存在正整数p，q，r(p

当n≥2时，an＝(3－2n)??3?<0，所以数列{Sn}单调递减． 又p

33333pq－12q①当q≥3时，p≥q－1≥q，

333rpr2q

又r>0，所以p＋r>q，等式不成立． 333341r②当q＝2时，p＝1，所以＝＋r，

933r1所以r＝，

39

所以r＝3({Sn}单调递减，解惟一确定)． 综上可知，p，q，r的值为1,2,3.

(三)应用题

1．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内(含7天)，无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．

(1)当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是多少元？

(2)设该厂x天购买一次配料，求该厂在这x天中用于配料的总费用y(元)关于x的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？ 解 (1)当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用 P＝70＋0.03×200×(1＋2)＝88(元)．

(2)①当x≤7时，y＝360x＋10x＋236＝370x＋236，

②当x>7时，y＝360x＋236＋70＋6[(x－7)＋(x－6)＋…＋2＋1]＝3x2＋321x＋432，

??370x＋236，x≤7，∴y＝?2

?3x＋321x＋432，x>7，?

∴设该厂x天购买一次配料平均每天支付的费用为f(x)元．

?f(x)＝?3x＋321x＋432

，x>7.?x

2

370x＋236

，x≤7，x

2362 826

当x≤7时，f(x)＝370＋，当且仅当x＝7时，f(x)有最小值≈404(元)；

x73x2＋321x＋432?144?当x＞7时，f(x)＝＝3?x＋x?＋321≥393.

x当且仅当x＝12时取等号．

∵393<404，∴当x＝12时f(x)有最小值393元．

2．南半球某地区冰川的体积每年中随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年的数据，冰川的体积(亿立方米)关于t的近似函数的关系式为

32??－t＋11t－24t＋100，0

?4?t－10??3t－41?＋100，10

(1)该冰川的体积小于100亿立方米的时期称为衰退期．以i－1

解 (1)当00，解得t<3或t>8.

又0

当10

解得10

3综上得0

所以衰退期为1月，2月，3月，9月，10月，11月，12月共7个月． (2)由(1)知，V(t)的最大值只能在(3,9)内取到．

由V′(t)＝(－t3＋11t2－24t＋100)′＝－3t2＋22t－24， 4

令V′(t)＝0，解得t＝6或t＝(舍去)．

3当t变化时，V′(t)与V(t)的变化情况如下表：

t (3,6) 6 (6,9)