高三数学 高考大题专项训练 全套 (15个专项)(典型例题)(含答案)

πππ5π

又由0≤x0≤，得－≤2x0－≤，

2666πππ15

2x0－?＝所以－≤2x0－<0，故cos?， 6??664ππ

2x0－?＋? 此时sin 2x0＝sin??6?6???ππππ

2x0－?cos ＋cos?2x0－?sin ＝sin?6?6???6615－313151＝－×＋×＝.

42428

xx

sin ，1?，n＝?1，3cos ?，函数f(x)＝m·2．(2017·江苏南通四模)已知向量m＝?n. 2??2??(1)求函数f(x)的最小正周期；

2π2π

α－?＝，求f ?2α＋?的值． (2)若f ?3?33???xx

解 (1)f(x)＝m·n＝sin ＋3cos

221x3x

＝2?sin ＋cos ?

2??222xπxπ

sin cos ＋cos sin ? ＝2?323??2xπ?＝2sin??2＋3?，

2π

所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝4π.

122π2α2α1α－?＝，得2sin ＝，即sin ＝. (2)由f ?3?3?2323ππ

2α＋?＝2sin?α＋?＝2cos α 所以f ?3???2?α141－2sin2?＝. ＝2?2?9?

?A＋π?，sin?A＋π??，3．(2017·江苏南师大考前模拟)已知△ABC为锐角三角形，向量m＝?cos??3??3??

n＝(cos B，sin B)，并且m⊥n. (1)求A－B；

3

(2)若cos B＝，AC＝8，求BC的长．

5解 (1)因为m⊥n，

ππ

A＋?cos B＋sin?A＋?sin B 所以m·n＝cos??3??3?π

A＋－B?＝0. ＝cos??3?

πππ5π因为0

2636πππ

所以A＋－B＝，即A－B＝. 326

π34

0，?，所以sin B＝， (2)因为cos B＝，B∈??2?55πππ

B＋?＝sin Bcos ＋cos Bsin 所以sin A＝sin??6?66433143＋3

＝×＋×＝， 525210

sin A由正弦定理可得BC＝×AC＝43＋3.

sin B

4．(2017·江苏镇江三模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)(sin A＋sin C)＝(b－3c)sin B. (1)求角A；

(2)若f(x)＝cos2(x＋A)－sin2(x－A)，求f(x)的单调递增区间． 解 (1)由(a－c)(sin A＋sin C)＝(b－3c)sin B及正弦定理， 得(a－c)(a＋c)＝(b－3c)b，即a2＝b2＋c2－3bc. 由余弦定理，得cos A＝3

， 2

π

因为0

＝－

221

＝cos 2x， 2

令π＋2kπ≤2x≤2π＋2kπ，k∈Z， π

得＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z. 2

π?则f(x)的单调增区间为??2＋kπ，π＋kπ?，k∈Z.

(二)函数与导数(2)

1．设函数f(x)＝2(a＋1)x(a∈R)，g(x)＝ln x＋bx(b∈R)，直线y＝x＋1是曲线y＝f(x)的一条切线． (1)求a的值；

(2)若函数y＝f(x)－g(x)有两个极值点x1，x2. ①试求b的取值范围； g?x1?＋g?x2?11

②证明：≤2＋.

f?x1?＋f?x2?e2

解 (1)设直线y＝x＋1与函数y＝f(x)的图象相切于点(x0，y0)， 则y0＝x0＋1，y0＝2(a＋1)x0，

a＋1

＝1，解得a＝0. x0

(2)记h(x)＝f(x)－g(x)，则h(x)＝2x－ln x－bx.

①函数y＝f(x)－g(x)有两个极值点的必要条件是h′(x)有两个正零点． h′(x)＝

－bx＋x－111

－－b＝，

xxx

令h′(x)＝0，得bx－x＋1＝0(x>0)． 令x＝t，则t>0.

问题转化为bt2－t＋1＝0有两个不等的正实根t1，t2，

?

?tt＝1>0，

b等价于?

1?t＋t＝>0，?b

121

2

Δ＝1－4b>0，

1

解得0

1

当0

4

－bx＋x－1－b?x－x1??x－x2?－b?x－x1??x－x2?

则h′(x)＝＝＝.

xxx?x＋x1??x＋x2?当x∈(0，x1)时，h′(x)<0； 当x∈(x1，x2)时，h′(x)>0； 当x∈(x2，＋∞)时，h′(x)<0.

所以x1，x2是h(x)＝f(x)－g(x)的极值点， 10，?. ∴b的取值范围是??4?1

②由①知x1x2＝x1＋x2＝.

b

12

可得g(x1)＋g(x2)＝－2ln b＋－2，f(x1)＋f(x2)＝，

bbg?x1?＋g?x2?1

所以＝－bln b－b.

f?x1?＋f?x2?211

0

11

0，?， 令k′(b)＝0，得b＝2∈?e?4?1

0，2?时，k′(b)>0，k(b)单调递增； 且当b∈??e?11?当b∈??e2，4?时，k′(b)<0，k(b)单调递减， 111且当b＝2时，k(b)取最大值2＋，

ee2g?x1?＋g?x2?11

所以≤2＋. f?x1?＋f?x2?e2b

2．设函数f(x)＝2ax＋＋cln x.

x

(1)当b＝0，c＝1时，讨论函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在x＝1处的切线为y＝3x＋3a－6且函数f(x)有两个极值点x1，x2，x1

b

解 (1)f(x)＝2ax＋＋cln x，x>0，

x

2

bc2ax＋cx－b

f′(x)＝2a－2＋＝.

xxx2当b＝0，c＝1时，f′(x)＝

2ax＋1

. x

2ax＋1

当a≥0时，由x>0，得f′(x)＝>0恒成立，

x所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

2ax＋11

当a<0时，令f′(x)＝>0，解得x<－；

x2a2ax＋11

令f′(x)＝<0，解得x>－，

x2a

11

0，－?上单调递增，在?－，＋∞?上单调递减． 所以，函数f(x)在?2a???2a?

1

0，－?综上所述，①当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a<0时，函数f(x)在?2a??