高三数学 高考大题专项训练 全套 (15个专项)(典型例题)(含答案)

1、函数与导数（1） 2、三角函数与解三角形 3、函数与导数（2） 4、立体几何 5、数列（1） 6、应用题 7、解析几何 8、数列（2） 9、矩阵与变换 10、坐标系与参数方程 11、空间向量与立体几何 12、曲线与方程、抛物线 13、计数原理与二项式分布 14、随机变量及其概率分布 15、数学归纳法

高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1)

aex

1．已知函数f(x)＝＋x.

x

(1)若函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线经过点(0，－1)，求a的值；

(2)是否存在负整数a，使函数f(x)的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由．

aex?x－1?＋x2

解 (1)∵f′(x)＝，

x2∴f′(1)＝1，f(1)＝ae＋1.

∴函数f(x)在(1，f(1))处的切线方程为 y－(ae＋1)＝x－1，

又直线过点(0，－1)，∴－1－(ae＋1)＝－1， 1

解得a＝－.

e

aex?x－1?＋x2

(2)若a<0，f′(x)＝，

x2当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x∈(0,1)时，f′(x)>0恒成立，函数在(0,1)上无极值．

方法一 当x∈(1，＋∞)时，若f(x)在x0处取得符合条件的极大值f(x0)，

x0>1，??

则?f?x0?>0，??f′?x0?＝0，

???x0?1,①?x0则ae?x?0,② ?0?x0?aex0(x?1)?x200??0,③2?x0?x2x00由③得ae＝－，代入②得－＋x>0，

x0－1x0－10

x02x0aex0结合①可解得x0>2，再由f(x0)＝＋x0>0，得a>－x，

e0x0x?x－2?x2

设h(x)＝－x，则h′(x)＝，

eex当x>2时，h′(x)>0，即h(x)是增函数， 4

∴a>h(x0)>h(2)＝－2. e

4

－2，0?， 又a<0，故当极大值为正数时，a∈??e?从而不存在负整数a满足条件．

方法二 当x∈(1，＋∞)时，令H(x)＝aex(x－1)＋x2， 则H′(x)＝(aex＋2)x，

∵x∈(1，＋∞)，∴ex∈(e，＋∞)， ∵a为负整数，∴a≤－1，∴aex≤ae≤－e， ∴aex＋2<0，∴H′(x)<0， ∴H(x)在(1，＋∞)上单调递减．

又H(1)＝1>0，H(2)＝ae2＋4≤－e2＋4<0， ∴?x0∈(1,2)，使得H(x0)＝0， 且当10，即f′(x)>0； 当x>x0时，H(x)<0，即f′(x)<0.

aex0∴f(x)在x0处取得极大值f(x0)＝＋x0.(*)

x02

又H(x0)＝aex0(x0－1)＋x0＝0，

aex0x0∴＝－，代入(*)得

x－10x0f(x0)＝－

x0?x0－2?x0＋x0＝<0， x0－1x0－1

∴不存在负整数a满足条件．

?f?x?，f?x?≥g?x?，?

2．已知f(x)＝ax3－3x2＋1(a>0)，定义h(x)＝max{f(x)，g(x)}＝?

??g?x?，f?x?

(1)求函数f(x)的极值；

(2)若g(x)＝xf′(x)，且?x∈[1,2]使h(x)＝f(x)，求实数a的取值范围． 解 (1)∵函数f(x)＝ax3－3x2＋1， ∴f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)， 2

令f′(x)＝0，得x1＝0或x2＝，

a∵a>0，∴x1

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x f′(x) (－∞，0) ＋ 0 0 ?0，2? ?a?－ 2 a0 ?2，＋∞? ?a?＋ f(x)

↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 2?8124

∴f(x)的极大值为f(0)＝1，极小值为f ?＝2－2＋1＝1－2. ?a?aaa(2)g(x)＝xf′(x)＝3ax3－6x2， ∵?x∈[1,2]，使h(x)＝f(x)，

∴f(x)≥g(x)在[1,2]上有解，即ax3－3x2＋1≥3ax3－6x2在[1,2]上有解， 13

即不等式2a≤3＋在[1,2]上有解，

xx

2

133x＋1

设y＝3＋＝3(x∈[1,2])，

xxx

－3x2－3∵y′＝<0对x∈[1,2]恒成立，

x413

∴y＝3＋在[1,2]上单调递减，

xx13

∴当x＝1时，y＝3＋的最大值为4，

xx∴2a≤4，即a≤2.

高考中档大题规范练 (一)三角函数与解三角形

ππ

x＋?sin?x－?，x∈R. 1．(2017·江苏宿迁中学质检)已知函数f(x)＝sin2x＋23sin xcos x＋sin??4??4?(1)求f(x)的最小正周期和值域；

π

0≤x0≤?为f(x)的一个零点，求sin 2x0的值． (2)若x＝x0?2??1

解 (1)易得f(x)＝sin2x＋3sin 2x＋(sin2x－cos2x)

2＝

1－cos 2x1

＋3sin 2x－cos 2x 22

π11

2x－?＋， ＝3sin 2x－cos 2x＋＝2sin?6?2?235

－，?. 所以f(x)的最小正周期为π，值域为??22?π1

2x0－?＋＝0，得 (2)由f(x0)＝2sin?6?2?π1

2x0－?＝－<0， sin?6??4