高考物理磁场精讲精练带电粒子在磁场中运动的临界极值问题

带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题

临界状态是指物体从一种运动状态(或物理现象)转变为另一种运动状态(或物理现象)的转折状态，它既具有前一种运动状态(或物理现象)的特点，又具有后一种运动状态(或物理现象)的特点，起着承前启后的转折作用．由于带电粒子在磁场中的运动通常都是在有界磁场中的运动，常常出现临界和极值问题．

1．临界问题的分析思路

临界问题的分析对象是临界状态，临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，这时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状态点．与临界状态相关的物理条件则称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破点．

临界问题的一般解题模式： (1)找出临界状态及临界条件； (2)总结临界点的规律； (3)解出临界量；

(4)分析临界量列出公式． 2．极值问题的分析思路

所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；二是借助于几何图形进行直观分析．

例题1．平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0)．粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为( )

A.C.mv

2qB2mv qB

B．D.

3mv

qB

4mv qB

mv

.设入射点为A，出射点为B，圆弧与qB

解析：选D.如图所示，粒子在磁场中运动的轨道半径为R＝

ON的交点为P.由粒子运动的对称性及粒子的入射方向知，AB＝R.由几何图形知，AP＝3R，则AO＝3AP4mv

＝3R，所以OB＝4R＝.故选项D正确．

qB

1

例题2．(多选)如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的任意值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m(不计重力)，从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ＝30°，孔Q到板的下端C的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，则( )

qBL

A．两板间电压的最大值Um＝

2m

222

?3－3?

B．CD板上可能被粒子打中区域的长度x＝??L

?3?

C．粒子在磁场中运动的最长时间tm＝

πm qB

222

qBL

D．能打在N板上的粒子的最大动能为

18m

解析：选BCD.M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，所以其轨迹圆心在C点，CHv112qBL

＝QC＝L，故半径R1＝L，又因Bqv1＝m，qUm＝mv1，可得Um＝，所以A错误．

R122m

2

22

R21L

设轨迹与CD板相切于K点，半径为R2，在△AKC中sin 30°＝＝，可得R2＝，CK长为3R2

L－R223＝

3?3－3?

L，则CD板上可能被粒子打中的区域即为HK的长度，x＝HK＝L－CK＝??L，故B正确．打在3?3?

2πmπmQE间的粒子在磁场中运动的时间最长，周期T＝，所以tm＝，C正确．能打到N板上的粒子的临

qBqBLBqLqBL

界条件是轨迹与CD相切，由B选项知，rm＝R2＝，可得vm＝，动能Ekm＝，故D正确．

33m18m

例题3．如图甲所示，在空间中存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，其边界AB、CD相距为d，在左边界的Q点处有一质量为m、带电量为q的负粒子沿与左边界成30°的方向射入磁场，粒子

2

222

重力不计．求：

(1)带电粒子能从AB边界飞出的最大速度；

(2)若带电粒子能垂直CD边界飞出磁场，穿过小孔进入如图乙所示的匀强电场中减速至零且不碰到负极板，则极板间电压U应满足什么条件？整个过程粒子在磁场中运动的时间是多少？

(3)若带电粒子的速度是(2)中的3倍，并可以从Q点沿纸面各个方向射入磁场，则粒子能打到CD边界的距离大小？

解析：(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为R1，运动速度为v0.粒子能从左边界射出，临界情况如图甲所示，由几何条件知R1＋R1cos 30°＝d

mv0又qv0B＝

R1解得v0＝

Bqd2(2－3)Bqd

＝

m(1＋cos 30°)m

2

所以粒子能从左边界射出时的最大速度为 vm＝v0＝

2(2－3)Bqd

m

(2)带电粒子能从右边界垂直射出，如图乙所示． d

由几何关系知R2＝ cos 30°v2

由洛伦兹力提供向心力得Bqv2＝m

R212

由动能定理得－qU＝0－mv2

2Bqd2Bqd

解得U＝＝ 2

2mcos 30°3m2Bqd

所加电压满足的条件U≥. 3m

3

2

2

2

2

2

2

2

T2πm

粒子转过的圆心角为60°，所用时间为，而T＝ 6Bq因返回通过磁场所用时间相同，所以总时间 T2πm

t＝2×＝ 63Bq

(3)当粒子速度是(2)中的3倍时，解得R3＝2d

由几何关系可得粒子能打到CD边界的范围如图丙所示．

粒子打到CD边界的距离 l＝2×2dcos 30°＝23d

2(2－2

2

答案：(1)3)Bqdm (2)U≥2Bqd3m 2πm

3Bq

(3)23d

4