广东省中山市2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷含解析

所以若t?M，则存在u?N，v?N，使t?6u?7v， 若t?M*，则存在u?N，u?6，v?N*，使t?6u?7v，

因此，对于正整数t，考虑集合M0?{x|x?t?6u，u?N，u?6}， 即{t，t?6，t?12，t?18，t?24，t?30，t?36}． 下面证明：集合M0中至少有一元素是7的倍数．

反证法：假设集合M0中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合M0中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6，

又因为集合M0中共有7个元素，所以集合M0中至少存在两个元素关于7的余数相同， 不妨设为t?6u1，t?u2，其中u1，u2?N，u1?u2?6．则这两个元素的差为7的倍数，即(t?u2)?(t?6u1)?6(u1?u2)，

所以u1?u2?0，与u1?u2矛盾，所以假设不成立，即原命题成立．

即集合M0中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为t?6u0，u0?6，u0?N， 则存在s?Z，使t?6u0?7s，u0?N，u0?6，即t?6u0?7s，u0?N，s?Z，

由已证可知，若t?M，则存在u?N，v?N，使t?6u?7v，而t?M，所以S为负整数， 设V??s，则v?N*，且t?6u0?7v，u0?N，u0?6，v?N*， 所以，当a?6，b?7时，对于整数t，若t?M，则t?M*成立．

（3）下面用反证法证明：若对于整数t，t?M*，则t?M，假设命题不成立，即t?M*，且t?M． 则对于整数t，存在n?N，m?N，u?N，u?6，v?N*，使t?6u?7v?6n?7m成立， 整理，得6(u?n)?7(m?v)， 又因为m?N，v?N*，

7所以u?n?(m?v)?0且u?n是7的倍数，

6因为u?N，u?6，所以u?n?6，所以矛盾，即假设不成立． 所以对于整数t，若t?M*，则t?M， 又由第二问，对于整数t?M，则t?M*， 所以t的最大值，就是集合M*中元素的最大值， 又因为t?6u?7v，u?N，v?N*，u?6， 所以tmax?(M*)max?6?6?7?1?29． 【点睛】

本题考查数列的综合应用，以及反证法，求最值，属于难题．

23．已知函数f(x)?e2x??1?ax2?ex?ax2(a?R).

（1）证明：当x?e2时，ex?x2；

（2）若函数f(x)有三个零点，求实数a的取值范围.

e2【答案】（1）见解析；（2）(,??)

4【解析】 【分析】

（1）要证明e?x(x?e)，只需证明x?2lnx即可；

xexe（2）e?ax?0有3个根，可转化为a?2有3个根，即y?a与h(x)?2有3个不同交点，利用导

xxx22x2数作出h(x)的图象即可. 【详解】

（1）令g(x)?x?2lnx，则g(x)?1?'2'，当x?e2时，g(x)?0， x222故g(x)在[e,??)上单调递增，所以g(x)?g(e)?e?4?0，

即x?2lnx，所以ex?x2. （2）由已知，f(x)?e2x??1?ax2?ex?ax2?(ex?ax2)(ex?1)，

x2xe依题意，f(x)有3个零点，即e?ax?0有3个根，显然0不是其根，所以a?2

xexex(x?2)''有3个根，令h(x)?2，则h(x)?，当x?2时，h(x)?0，当0?x?2 3xx时，h(x)?0，当x?0时，h(x)?0，故h(x)在(0,2)单调递减，在(??,0)，(2,??)上

''e2. 单调递增，作出h(x)的图象，易得a?42e故实数a的取值范围为(,??).

4

【点睛】

本题考查利用导数证明不等式以及研究函数零点个数问题，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.