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2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)
【详解人】佛山市南海区石门中学 黄伟亮
参考公式:
柱体的体积公式V?Sh,其中S为柱体的底面积,h为柱体的高. 圆锥的体积公式V?13Sh,其中S为锥体的底面积,h为锥体的高. 一、选择题
01. 设i为虚数单位,则复数
5?6ii?( ) A.6?5i
B.6?5i
C.?6?5i
D.?6?5i
解析:D.
5?6ii??6?5i. 02. 设集合U??1,2,3,4,5,6?,M??1,2,4?,则CUM?( )
A.U
B.?1,3,5?
C.?3,5,6?
D.?2,4,6?
解析:C.CUM??3,5,6?.
3.(向量)若向量??BA????2,3?,??CA????4,7?,则???BC??( )
A.??2,?4?
B.?2,4?
C.?6,10?
D.??6,?10?
解析:A.???BC????BA?????CA?????2,?4?.
4.(函数)下列函数中,在区间?0,???上为增函数的是( ) xA.y?ln?x?2?
B.y??x?1
C.y???1??2??
D.y?x?1x 解析:A.y?ln?x?2?在??2,???上是增函数.
?y?25.已知变量x、y满足约束条件??x?y?1,则z?3x?y的最大值为( )
??x?y?1A.12
B.11
C.3
D.?1
解析:B.画出可行域,可知当代表直线过点A时,取到最大值.
联
立
?y?2?x?3,解得?,所以z?3x?y的最大值为11. ?y?x?1y?2??6.(立体几何)某几何体的三视图如图1所示,它的体积为( ) A.12? C.57?
B.45? D.81?
解析:C.该几何体下部分是半径为3,高为5的圆柱,体积为
V???32?5?45?,上部分是半径为3,高为4的圆锥,体积为
1V????32?4?12?,所以体积为57?.
37.(概率)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,位数为0的概率是( )
A.
其个
4 9 B.
13 C.
2 9 D.
1 9解析:D.两位数共有90个,其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个,个位数为0的有5个,所以概率为
51?. 4598.对任意两个非零的平面向量?和?,定义???????,若平面向量a、b满足a?b?0,a与b????n????的夹角???0,?,且a?b和b?a都在集合?n?Z?中,则a?b?( )
?4??2?A.
1 2 B.1 C.
3 2 D.
5 2解析:C.a?b?ba?bakkkk?cos??1,b?a?cos??2,两式相乘,可得cos2??12.因为b?bba224kk1??????0,?,k2都是正整数,所以k1、于是?cos2??12?1,即2?k1k2?4,所以k1k2?3.而a?b?0,
424??所以k1?3,k2?1,于是a?b?二、填空题
(一)必做题(9—13题)
9.(不等式)不等式x?2?x?1的解集为__________________.
3. 21??解析:???,??.x?2?x的几何意义是x到?2的距离与x到0的距离的差,画出数轴,先找出临
2??1?1?界“x?2?x?1的解为x??”,然后可得解集为???,??.
2?2?
1??10.(二项式定理)?x2??的展开式中x3的系数为_________.(用数字作答)
x??6?k?1?1??kk12?3k解析:20.?x2??的展开式通项为Tk?1?C6,令12?3k?3,解得k?3,所x2????C6x?x??x??66k61??3以?x2??的展开式中x3的系数为C6?20.
x??211.(数列)已知递增的等差数列?an?满足a1?1,a3?a2?4,则an?______________.
解析:2n?1.设公差为d(d?0),则有1?2d??1?d??4,解得d?2,所以an?2n?1. 12.曲线y?x3?x?3在点?1,3?处的切线方程为___________________.
解析:2x?y?1?0.y?|x?1?3?12?1?2,所以切线方程为y?3?2?x?1?,即2x?y?1?0. 13.(算法)执行如图2所示的程序框图,若输入n的值为出s的值为______.
解析:8.第一次循环,s???1?2??2,i?4,k?2;循环,s?8,则输
211第二次
1??2?4??4,i?6,k?3;第三次循环,2为8.
1s???4?6??8,i?8,k?4.此时退出循环,输出s的值
3(二)选做题(14—15题)
14.(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy中,曲
线C1和为
参
???x?2cos??x?tC2的参数方程分别为?(t为参数)和?(????y?t?y?2sin?数),则曲线C1与C2的交点坐标为________.
解析:?1,1?.法1:曲线C1的普通方程是y2?x(y?0),曲线C2的普通方程是x2?y2?2,联立解
?x?1得?,所以交点坐标为?1,1?.
y?1??2?t?2cos?20?,解得cos??法2:联立?,可得2cos??2sin2?,即2cos2??2cos??或2t?2sin?????t?1cos???2(舍去),所以?,交点坐标为?1,1?.
??t?1
15.(几何证明选讲)如图3,圆O的半径为1,A、B、C是圆周上的三点,满足?ABC?30?,过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P,则PA?__________.
解析:3.连接OA,则?AOC?60?,?OAP?90?,因为OA?1,所以PA?3. 三、解答题
16.(三角函数)(本小题满分12分)
???已知函数f?x??2cos??x??(其中??0x?R)的最小正周期为10?.
6??(Ⅰ)求?的值;
???(Ⅱ)设?、???0,?,
?2?解析:(Ⅰ)T?5?6?f?5??????,
3?5?5?16?f?5?????,求cos?????的值.
6?17?2?1
?10?,所以??.
5?,
所
以
(Ⅱ)
?1?5?5?????6??f?5?????2cos??5???????2cos??????2sin???3?3?6?2?5???5??1?5?5???1638????sin??.f?5?????2cos??5???????2cos??,所以cos??.因为?、???0,?,
6?6?6?17517?2???5?所
以
c??o?2s??c???o?
?s??c454?o?51,8s1ssin??i1?cosn2????c.
73151715o??s?51,所以
s?71i3?n85?si17.(概率统计)(本小题满分13分) 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布所示,其中成绩分组区间是:?40,50?、?50,60?、
直方图如图4
?60,70?、
?70,80?、?80,90?、?90,100?.
(Ⅰ)求图中x的值;
(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2成绩在90分以上(含90分)的人数记为?,求?的
解析:(Ⅰ)由?0.006?3?0.01?0.054?x??10?1,解得x?0.018.
(Ⅱ)分数在?80,90?、?90,100?的人数分别是50?0.018?10?9人、50?0.006?10?3人.所以?的取值为0、1、2.
人,该2人中数学期望.
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