概率论与数理统计课后习题答案下

（2） 验证S2=

12(?Xi?nX)；

n?1i?12nn21?[?E(Xi2)?nE(X)]n?1i?1（3） 验证E（S2）=σ2. 【

证

】

(1)

???21?222????n?(??u)?n??u????2.n?1??n??

n1n1?1n?115.?对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=??1, E(X)?E??Xi??E(?Xi)??E(Xi)??nuu.

nnnni?1i?1?i?1?计算：Cov（3X??2Y+1，X+4Y??3）.��

n1n?1n?1D(X)?D??Xi??2D(?Xi)Xi之间相互独立2?DXi ?Cov(3ni?1X?2Y?1,X?4Y?3)?3D(X)?10Cov(X,Y)?8Di?1?ni?1?n【解】

1?22?2?n??. nn

?3?2?10?(?1)?8?3??28

(因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).

2i2(2) 因

?(Xi?1nni16.设二维随机变量（?X)??(X?X?2XXi)??X?nX?2X?Xi X，Y）的概率密度为

22ii?1i?1i?1n2nn

??X?nX?2X?nX??X?nX2i2ii?1i?1n21故S?(?Xi2?nX).

n?1i?122n2

?122?,x?y?1,f（x，y）=?π

?其他.?0,试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的. 【解】设D?{(x,y)|x2?y2?1}.

??(3) 因

E(Xi)?u,D(Xi)??2,故

E(X)?????????xf(x,y)dxdy?1xdxdy ??πx2?y2?1E(Xi2)?D(Xi)?(EXi)2??2?u2.

同

理

因

=12π1rcos??rdrd??0.

??00πE(X)?u,D(X)??2n,故

同理E(Y)=0. 而

E(X)?从而

2?2n?u2.

CovX(Y,?)?????????? xdyx[?Ex(?)]y?[EY()f]x(y,)

112π12?xydxdy?rsin?cos?rdrd??0????nn002?2πx2?y2?π1?1E(s2)?E?(?Xi2?nX)??[E(?Xi2)?nE(X1)]

i?1?n?1i?1?n?1,

由此得下

面

1?x2

?XY?0,故X与Y不相关.

讨

论

独

立

性

，

当

|x|≤1

时

，

fX(x)?1?1?x212dy?1?x2. ππ当|y|≤1时，fY(y)1?1?y2?1?y212dx?1?y2ππ??1 . 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.

显然

fX(x)?fY(y)?f(x,y).

【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律

易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表

故X和Y不是相互独立的.

17.设随机变量（X，Y）的分布律为 X Y ??1 0 1 X P ??1 0 1 3 8??1 280 3 81

Y P 3 8??1 280 3 81

XY P 28 48 28

由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0. 从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0, 即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.

又P{X331??1}?P{Y??1}????P{X??1,Y??1}

888从而X与Y不是相互独立的.

18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），ρXY.

【解】如图，SD=

12，故（X，Y）的概率密度为

题18图

?2,(x,y)?D, f(x,y)??0,其他.?E(X)???xf(x,y)dxdy??0dx?0x?2dy?D11?x11?x1 31 62E(X2)???x2f(x,y)dxdy??0dx?02xdy?D1?1?122从而D(X)?E(X)?[E(X)]?????.

6?3?18同理E(Y)211?,D(Y)?. 31811?x而

E(XY)???xyf(x,y)dxdy???2xydxdy??dx?DD002xydy?1. 12所以

Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)?E(Y)?1111????. 123336从而

?XY?Cov(X,Y)?D(X)?D(Y)?13611?1818??1 219.设（X，Y）的概率密度为

ππ?1sin(x?y),0?x?,0?y?,?f（x，y）=?222

?其他.?0,求协方差Cov（X，Y）和相关系数ρXY.

【解】E(X)???????????xf(x,y)dxdy??π202π/20dx?π/201πx?sin(x?y)dy?. 24

E(X)??dx?从而

2π201π2πx?sin(x?y)dy???2.

282π2πD(X)?E(X)?[E(X)]???2.

16222同理

ππ2πE(Y)?,D(Y)???2.

4162又

E(XY)??π/20dx?π/20πxysin(x?y)dxdy??1,

22?π?ππ?π?4?故 CovX(Y,?)EXY(?)E(X?)EY(??)???1??????2?44?4?2

.?XY??π?4????Cov(X,Y)(π?4)2π2?8π?164???2??2??2.

ππ?8π?32π?8π?32D(X)?D(Y)π??216220.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为?【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.

从而

?11?，试求Z1=X??2Y和Z2=2X??Y的相关系数. ??14?D(Z1)?D(X?2Y)?D(X)?4D(Y)?4Cov(X,Y)?1?4?4?4?1?13,D(Z2)?D(2X?Y)?4D(X)?D(Y)?4Cov(X,Y)?4?1?4?4?1?4,Cov(Z1,Z2)?Cov(X?2Y,2X?Y)