数学选修2-3人教版导学案3.2回归分析(2)

§3.2 回归分析(2)

教学目标

（1）通过实例了解相关系数的概念和性质，感受相关性检验的作用； （2）能对相关系数进行显著性检验，并解决简单的回归分析问题； （3）进一步了解回归的基本思想、方法及初步应用． 教学重点，难点

相关系数的性质及其显著性检验的基本思想、操作步骤． 教学过程 一．问题情境 1．情境：下面是一组数据的散点图，若求出相应的线性回归方程，求出的线性回归方程可以用作预测和估计吗？

1010

88

66

系44

22 00051015051015

2．问题：思考、讨论：求得的线性回归方程是否有实际意义． 二．学生活动

对任意给定的样本数据，由计算公式都可以求出相应的线性回归方程，但求得的线性回归方程未必有实际意义．左图中的散点明显不在一条直线附近，不能进行线性拟合，求得的线性回归方程是没有实际意义的；右图中的散点基本上在一条直线附近，我们可以粗略地估计两个变量间有线性相关关系，但它们线性相关的程度如何，如何较为精确地刻画线性相关关系呢？

这就是上节课提到的问题①，即模型的合理性问题．为了回答这个问题，我们需要对变量x与y的线性相关性进行检验（简称相关性检验）． 三．建构数学

1．相关系数的计算公式：

对于x，y随机取到的n对数据(xi,yi)(i?1,2,3,,n)，样本相关系数r的计算公式为

r??(x?x)(y?y)iii?1n?(x?x)??(y?y)2iii?1i?1nn?2?xy?nxyiii?1n?(?xi2?n(x)2)(?yi2?n(y)2)i?1i?1nn．?2?

2．相关系数r的性质： （1）|r|?1；

（2）|r|越接近与1，x，y的线性相关程度越强； （3）|r|越接近与0，x，y的线性相关程度越弱．

可见，一条回归直线有多大的预测功能，和变量间的相关系数密切相关． 3．对相关系数r进行显著性检验的步骤：

相关系数r的绝对值与1接近到什么程度才表明利用线性回归模型比较合理呢？这需要对相关系数r进

行显著性检验．对此，在统计上有明确的检验方法，基本步骤是：

（1）提出统计假设H0：变量x，y不具有线性相关关系；

（2）如果以95%的把握作出推断，那么可以根据1?0.95?0.05与n?2（n是样本容量）在附录2（教材P111）中查出一个r的临界值r0.05（其中1?0.95?0.05称为检验水平）； （3）计算样本相关系数r；

（4）作出统计推断：若|r|?r0.05，则否定H0，表明有95%的把握认为变量y与x之间具有线性相关关系；若|r|?r0.05，则没有理由拒绝H0，即就目前数据而言，没有充分理由认为变量y与x之间具有线性相关关系．

说明：1．对相关系数r进行显著性检验，一般取检验水平??0.05，即可靠程度为95%．

2．这里的r指的是线性相关系数，r的绝对值很小，只是说明线性相关程度低，不一定不相关，可能是非线性相关的某种关系．

3．这里的r是对抽样数据而言的．有时即使|r|?1，两者也不一定是线性相关的．故在统计分析时，不能就数据论数据，要结合实际情况进行合理解释．

4．对于上节课的例1,可按下面的过程进行检验： （1）作统计假设H0：x与y不具有线性相关关系；

（2）由检验水平0.05与n?2?9在附录2中查得r0.05?0.602； （3）根据公式?2?得相关系数r?0.998；

（4）因为r?0.998?0.602，即r?r0.05，所以有95﹪的把握认为x与y之间具有线性相关关系,线性回归方程为y?527.591?14.453x是有意义的． 四．数学运用 1．例题：

例1．下表是随机抽取的8对母女的身高数据,试根据这些数据探讨y与x之间的关系． 母亲身高x/cm 女儿身高y/cm 154 155 157 156 158 159 159 162 160 161 161 164 162 165 163 166 解：所给数据的散点图如图所示：由图可以看出，这些点在一条直线附近，

因为x??154?157??163??8?159.25，y??155?156??166??8?161，

?xi?1882i?8(x)2??1542??8(y)2??1552??1632??8?159.252?59.5， ?1662??8?1612?116，

?163?166??8?159.25?161?80，

?yi?182i?xy?8xy?154?155?iii?1所以r?8059.5?116?0.963，

由检验水平0.05及n?2?6，在附录2中查得r0.05?0.707，因为0.963?0.707,所以可以认为x与y之间具有较强的线性相关关系．线性回归模型y?a?bx??中a,b的估计值a,b分别为

b??xy?8xyii8?xi?1i?182i?8x??2?1.345, a?y?bx??53.191，

故y对x的线性回归方程为y??53.191?1.345x．

例2．要分析学生高中入学的数学成绩对高一年级数学学习的影响，在高一年级学生中随机抽取10名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩如下表：

?1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 63 67 45 88 81 71 52 99 58 76 入学成绩x 高一期末成绩y 65 78 52 82 92 89 73 98 56 75 （1）计算入学成绩x与高一期末成绩y的相关系数； （2）如果x与y之间具有线性相关关系，求线性回归方程；

（3）若某学生入学数学成绩为80分，试估计他高一期末数学考试成绩．

11??63?67??76??70，y???65?78??75??76， 解：(1)因为x?1010学生编号 Lxy??(xi?x)(yi?y)?1894，Lxx??(xi?x)?2474，

i?110102i?1Lyy??(yi?y)2?2056．

i?110因此求得相关系数为r??(x?x)(y?y)iii?110?(xi?x)2i?110?(yi?y)2i?110?LxyLxxLyy?0.840．

结果说明这两组数据的相关程度是比较高的；

小结解决这类问题的解题步骤：

（1）作出散点图，直观判断散点是否在一条直线附近； （2）求相关系数r；

（3）由检验水平和n?2的值在附录中查出临界值，判断y与x是否具有较强的线性相关关系；

（4）计算a，b，写出线性回归方程． 2．练习：P104练习第1题． 五．回顾小结：

1．相关系数的计算公式与回归系数b计算公式的比较； 2．相关系数的性质；

3．探讨相关关系的基本步骤． 六．课外作业：P106习题3.2第1题．