高考必备-2020年高考理科数学大一轮提分讲义第4章 第6节 正弦定理、余弦定理

＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60° 6＋2＝4.

解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角

变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据．

[教师备选例题] (2018·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知πbsin A＝acos(B－6)． (1)求角B的大小； (2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值． ab[解] (1)在△ABC中，由正弦定理sin A＝sin B， 可得bsin A＝asin B， π又由bsin A＝acos(B－6)， π得asin B＝acos(B－6)， π即sin B＝cos(B－6)， 可得tan B＝3. π又因为B∈(0，π)，可得B＝3. π(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝3，有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝7. π3由bsin A＝acos(B－6)，可得sin A＝. 75

因为a＜c，故cos A＝2. 743因此sin 2A＝2sin Acos A＝7， 1cos 2A＝2cos2A－1＝7， 4311333所以，sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝7×2－7×2＝14. 1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已

知bsin A＋acos B＝0，则B＝________．

3πab [∵bsin A＋acos B＝0，∴＝4sin A－cos B.由正弦定理，得－cos B＝sin B，3π∴tan B＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝4.] 7

2．在△ABC中，AB＝4，AC＝7，BC边上中线AD＝2，则BC＝________． 9 [设BD＝DC＝x，∠ADC＝α，∠ADB＝π－α， 77

在△ADC中，72＝x2＋(2)2－2x×2cos α，① 77

在△ABD中，42＝x2＋(2)2－2x×2cos(π－α)，② 9

①＋②得x＝2， ∴BC＝9.]

3．(2019·贵阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.

(1)求边长a；

(2)求AB边上的高CD的长．

[解] (1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，

a2＋b2－c2a2＋（a＋2）2－（a＋4）2由余弦定理cos C＝2ab得cos 120°＝，即

2a（a＋2）

6

a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)，所以a＝3.

(2)法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7， 由三角形的面积公式得 11absin∠ACB＝22c×CD，

3

3×5×absin∠ACB2153

所以CD＝＝＝14，

c7即AB边上的高CD＝

153

. 14

法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7， 3

由正弦定理得sin A＝33

即sin A＝14，

33153

在Rt△ACD中，CD＝ACsin A＝5×14＝14， 153

即AB边上的高CD＝14. 考点2 与三角形面积有关的问题 三角形面积公式的应用原则

111

(1)对于面积公式S＝2absin C＝2acsin B＝2bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．

(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋3cos A

＝0，a＝27，b＝2.

(1)求c；

(2)[一题多解]设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

7sin∠ACB

＝

7sin 120°

，

7

[解] (1)由已知条件可得tan A＝－3，A∈(0，π)，所以A＝2π

中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos 3，即c2＋2c－24＝0，

解得c＝－6(舍去)，或c＝4.

π

(2)法一：如图，由题设可得∠CAD＝2， π

所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝6，

1πAB·AD·sin 26

故△ABD面积与△ACD面积的比值为1＝1，

2AC·AD1

又△ABC的面积为2×4×2sin∠BAC＝23， 所以△ABD的面积为3. 法二：由余弦定理得cos C＝

2， 7

2π

，在△ABC3

AC

在Rt△ACD中，cos C＝CD，

所以CD＝7，所以AD＝3，DB＝CD＝7， 13

所以S△ABD＝S△ACD＝2×2×7×sin C＝7×＝3.

7π2

法三：∠BAD＝6，由余弦定理得cos C＝，

7所以CD＝7，所以AD＝3， 1

所以S△ABD＝2×4×3×sin∠DAB＝3.

(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意

求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积；(3)若求面积的最值，一般表

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