高考必备-2020年高考理科数学大一轮提分讲义第4章 第6节 正弦定理、余弦定理

第六节 正弦定理、余弦定理

[最新考纲] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

1．正弦、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则

定理 正弦定理 abc＝＝sin Asin Bsin C＝2R. (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos_A； 内容 b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C b2＋c2－a2cos A＝2bc； c2＋a2－b2变形 (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； cos B＝； 2ac222a＋b＋caa＋b－c(3)＝＝2R. cos C＝sin A＋sin B＋sin Csin A2ab

2.三角形常用面积公式

1

(1)S＝2a·ha(ha表示边a上的高)； 111(2)S＝2absin C＝2acsin_B＝2bcsin_A； 1

(3)S＝2r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． [常用结论]

1．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B． 2．三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；

1

b＝acos C＋ccos A； c＝bcos A＋acos B． 3．内角和公式的变形 (1)sin(A＋B)＝sin C； (2)cos(A＋B)＝－cos C.

4．角平分线定理：在△ABC中，若AD是角A的平分线，如图，ABBD则AC＝DC.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.( )

(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ) (4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．( )

[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× 二、教材改编

ππ

1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝6，B＝4，a＝1，则b＝( )

A．2 C.3

B．1 D.2

πsin 4

abasin B2

D [由sin A＝sin B得b＝sin A＝π＝2×2＝2.]

sin 6

2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有( ) A．无解 C．一解

B．两解

D．解的个数不确定

2

B [∵bsin A＝24sin 45°＝122， ∴122＜18＜24，即bsin A＜a＜b. ∴此三角形有两解．]

3．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________． 等腰三角形或直角三角形 [由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B， 即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B， π

即A＝B或A＋B＝2，

所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]

4．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________． 23423 [因为＝sin B，所以sin B＝1，所以 B＝90°，

sin 60°1

所以AB＝2，所以S△ABC＝2×2×23＝23.]

考点1 利用正、余弦定理解三角形问题 解三角形的常见题型及求解方法

abc

(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及sin A＝sin B＝sin C，可先求出角C及b，再求出c.

(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C.

(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.

ab

(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理sin A＝sin B可求出另一ac

边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由sin A＝sin C可求出c，而通

3

ab过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况． sin Asin B

(1)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

1b

已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－4，则c＝( )

A．6 C．4

B．5 D．3

(2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.

①求A；

②若2a＋b＝2c，求sin C. (1)A [∵asin A－bsin B＝4csin C， ∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.

b2＋c2－a2b2＋c2－（4c2＋b2）－3c21b由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴

2bc2bc2bc4c＝6.

故选A.]

(2)[解] ①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.

b2＋c2－a21

由余弦定理得cos A＝

2bc＝2. 因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.

②由①知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，6312即2＋2cos C＋2sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－2.

2

由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝2， 故sin C＝sin(C＋60°－60°)

4